运用winplot软件辅助含参函数教学的案例解析

☉湖北大学数学与计算机科学学院 朱 慧

含参函数问题一直是高中教学中的难点，它融合数学知识以及多种数学思想方法，如数形结合、化归、分类讨论等，同时能很好地培养学生分析问题、解决问题的能力，因此备受命题专家、教师的青睐.然而对于学生而言，遇到含参函数就发懵，所以如何提高含参函数问题的解题能力一直是学生和老师所密切关注的事情.笔者经过尝试，觉得适当运用winplot辅助教学，可以帮助学生直观地理解知识、建构知识，提高解题能力.下面笔者主要结合自由软件winplot的操作对含参函数的相关问题进行讨论分析，与同仁们分享.

一、交点问题——观察分析

例1 （改编于2011年陕西文科6）方程lgx=cosx在（-∞，+∞）内有_____个根？

分析 这是典型的数形结合的题目，一般只要画出图形就能解决.求根的个数实际上是求y=lgx与y=cosx的交点的个数.因为－1≤cosx≤1，lg1=0，而1rad≈57o，产生交点需lgx>0，所以交点只可能在（0，10）内，画出图形即可知为3个根.

但是如果将题目换种表述，例如：“要使lgx=cosax在（-∞，+∞）内有3个根（或者5个等等），则整数a为多少（或者求实数a的取值范围）？”很多学生却很盲目.显然学生没有掌握系数a与方程根个数之间的联系.现在让我们利用winplot的操作来对这方面问题进行探讨.

具体操作如下：

步骤1：作（含参）函数图像.单击【window】/【2-dim】，在“noname 1”菜单栏中单击【Equa】/【1.Explicit】，在“y=f（x）”图形对话框输入“log（10，x）”，点击【lockinterval】填入lowx=0，highx=10，锁定区间为（0，10）.点击【ok】即可得到函数y=lgx的图像.同理，输入“cos（ax）”即得到含参函数y=cosax的图像.（此时图像为一直线，因为软件默认参数初始值为0）

步骤2：改变参数值.在“noname1”菜单栏中单击【Anim】/【Parameter A-W】得到“currentvalue of A”对话框，选择参数a（代表参数的字母是不分大小写的），按横拉条左右拉动.如图1使得y=cosax随参数变化的动态图像直接呈现在学生面前，抽出繁琐的画图时间，让学生可以充分地内化思考.

图1

不难发现，当a增大时，y=cosax越来越密，与y=lgx的交点的个数越来越多.因此引导学生观察后猜想，交点的个数与y=cosax有怎样的联系.结合a的意义，不难发现实际上交点个数是与y=cosax的周期紧密联系，一个周期内如果有交点，最多有两个.因此要使方程有三个根，则，即可求出整数a.

将winplot软件用于数学课堂习题教学中，可以快速生动地呈现数学图形，方便教师的教学，同样，学生通过直观的图形更能很好地理解题目，积极地思考.

例2 已知二次函数y=ax2+bx+c和一次函数若它们的图像对于任意的实数k都只有一个公共点，则二次函数的解析式为______.

分析 由于二次函数与一次函数的图像只有一个公共点，则可以联立方程知Δ=0.

由于方程（1）对任意的实数k都成立，即a=1，b=－2，c=1，y=x2－2x+1.

这道题虽然做完了，但笔者仍感觉不可思议（相信很多学生都会有这种疑惑）：“为什么会出现这种情况：给定抛物线解析式，居然存在一个含参量一次函数，不管参数如何变化，它们都有且只有一个交点.”自由软件winplot可以帮我们揭晓秘密，具体操作同例1.

图2

因此在教学时可以适当根据以上内容组织教学，让学生经历观察，分析，进而联系所学知识，猜想验证，对题目知其所以然，并适当地总结，反思，学会举一反三.

二、单调性问题——猜想验证

分析 这类函数叫“对勾函数”，此题是人教版高中必修1教科书中第35面例5（3）题的引申.我们知道当a=1时，即在定义域内是奇函数，那么它的单调性如何呢？若a≠1时，它的奇偶性、单调性又如何呢？这是教师经常在课堂上拓展的.奇偶性很容易判别，这里不赘述.要想探索出单调性，就必须讨论参量a的情况.而参量a的临界值有哪些？很难找出，于是很多老师在这里只把对勾函数的性质当做结论直接灌输到学生头脑中，可想而知，学生没有经历体验数学事实的过程，以至于到后来总把对勾函数与双曲线混为一谈.这里笔者借助winplot将探究过程一一展现.

步骤1：作含参函数图像.参看例1步骤1.

步骤2：在“noname1”菜单栏中单击【Anim】/【Parameter AW】，在得到的“currentvalue of a”对话框中选出参数a，点中横拉条使其a=1（即a=1），即得到的图像.

（1）作定点.单击【Equa】/【Point】/【（x，y）】，在弹出的对话框中输入x=“sqrt（a）”，y=“2sqrt（a）”，单击【solid】/【ok】，在“naname1”中出现点（

图3

（2） 作函数图像上的动点.在“noname1”菜单栏中单击【One】/【slider】在弹出的对话框中选中【makepoint】，会看到图像中多了一个十字形（即动点）.拖动横拉条，则十字形即动点在图形上滑动，并且“slider”对话框中也会出现动点的坐标值.如图3.

（3）作直线.单击【Equa】/【Line…】，在弹出的对话框中依次输入1，-1，0，即可得到直线x-y=0.

在不断拖动“slider”对话框的横拉条时，观察x和y的坐标值，可以判断当a=1时，的极值点.那么当a≠1时，又会是怎样的呢？

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仿照例1中的步骤2，拖动横拉条改变参数a的值，将图像的变化演示出来.让学生们观察，并猜想当参量a变化时，函数的图像性质如何？并且，教师可以根据学生的猜想有选择的验证，最终得出理想结论.例如当a<0时，图像为上图4（3），可知，在每个区间里都是增函数；当a=0时，图像为一直线；当a>0时，图像为对勾型.当然有条件的可以尝试让学生证明.

例4若函数f（x）=a|x-b|+2在［0，+∞）上为增函数，求实数a，b取值范围.

分析 这是绝对值问题，初看一眼觉得无从下笔.仔细分析，要求a，b取值范围，只告诉我们函数在［0，+∞）上为增函数，因此，必须弄清a，b对函数的影响.

步骤1：作含参函数图像.参看例1步骤1.

步骤2：改变参数值.在“noname1”菜单栏中单击【Anim】/【Parameter A-W】得到“currentvalue of A”对话框，选出参数a，任意确定一非零值.选出参数b，拖动横拉条，观察图像随b的变化情况.如图5.同样选出参数b，任意确定一非零值.选出参数a，拖动横拉条，观察图像随a的变化情况.如图6.

不难发现：b正是函数图像的弯折点，水平变化；a是函数的开口方向，a>0时，开口向上，a<0时，开口向下，当a=0时，函数为一条直线.所以很快就可以得出a>0，b≤0.

图6

运用winplot绘图软件来辅助教学，将生涩的知识活灵活现地呈现出来，让学生通过观察、归纳、猜想、证明，形成自己的数学认知体系.

三、变换——对比归纳

例5 （必修4第1.5节）探索A、ω、φ对y=Asin（ωx+φ）的图像的影响.

分析 多变量变化，我们采用控制变量法.要探究A、ω、φ对y=Asin（ωx+φ）的图像的影响，就必须通过图形的对比分析，归纳总结出规律.这里我们只谈论A对y=Asin（ωx+φ）的影响.具体操作如下：

步骤1：作含参函数图像.参看例1步骤1作出函数y=asin（bx+c）的图像.

步骤2：探究a对函数图像的影响.只需任意确定b与c的值，变化a的值来观察图像的变化情况.在“noname1”菜单栏中单击【Anim】/【Parameter A-W】，在得到的“currentvalue of a”对话框中选出参数b，拖动横拉条使其b=1（即b=1）；再选出参数c，拖动横拉条使其c=0（即c=0），再选出参数a，左右拖动横拉条，让学生观察并总结图像随着a的变化而变化的特征（红色为y=sinx）.如图7.

引导学生观察，不难得出以下结论：当a>0时，y随着a的增大而增大，相当于把y=sin（bx+c）的所有点的纵坐标伸长（a>1）或缩短（0

四、求含参量函数表达式——综合运用

例6 在直角坐标系中，有以A（-1，1），B（1，-1），C（1，1），D（-1，1）为顶点的正方形，设它在y=|x－a|+a上侧部分的面积为S（a），试求S（a）的解析式，并画出y=S（a）的图像.

分析 此题是人教版高中必修1教科书中第113面2题的引申.解决此类题型必须结合图形来分析，找出函数S（a）关于a的分段点.然而y=|x－a|+a是一个绝对值表达式，很多学生得到y=后，不知如何找出S（a）关于a的分段点.因此，首先要找到y=|x－a|+a的图像特征，通过观察找出S（a）的分段点.利用winplot中参数值的可变性，可以很快发现y=|x－a|+a的关于a的变化情况.具体操作如下：

步骤1：作定点.仿照例2步骤2中的（1）依次作出点A（-1，1），B（1，-1），C（1，1），D（-1，1）.仿照例2步骤2中的（2）作出动点（a，a），此动点即为y=|x－a|+a的图像的弯折点.

步骤2：作线段.单击【Equa】/【Segment】，在弹出的对话框中（如图8）依次输入-1，1，-1，-1，单击【ok】得到线段AD，如图9.重复上述操作，即可得到正方形ABCD.

图8 图9

步骤3：作含参函数图像.仿照例1步骤1.

步骤4：改变参数值.仿照例1步骤2，改变参数a的值.

不难发现：随着a的变动，弯折点在直线y=x上移动.于是很容易得到a的分段点为1，0，-1.图像如图10.（读者可以尝试摸索阴影部分是如何做出来）

图10

新课程标准中强调“高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的有机整合，整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质.高中数学课程应提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以实现的课程内容……”.当然winplot的功能远不止这些，例如迅速作出参数方程的的图像、求函数的零点、极值、周期，对函数进行平移、旋转、反射等等，还有高等数学中的相关应用.对于我们教师自主编题、快速解题、探究性教学等都很有帮助.但需要强调的是，winplot软件只是作为教学的辅助工具，切不可泛滥使用，针对学生要打好基础，重视数学知识与能力的培养，不可本末倒置、投机取巧.