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导数在不等式中的应用

2012-08-28山东省莱芜第一中学申玉芹

中学数学杂志 2012年9期
关键词:极小值增函数最值

☉山东省莱芜第一中学 王 强 申玉芹

一、应用导数证明不等式

1.应用导数得出函数的单调性,并证明不等式.

我们从导数学习中知道,在某个区间内,若函数的导数的函数值大于0,其在这个区间内单调递增;若小于0,其在这个区间内单调递减.因此,在进行不等式的证明时,就需要考虑到不等式的自身特点,例如构造函数,就能够通过导数来将函数的单调性证明出来,然后再通过对单调性的利用进行不等式的证明.也就是用函数的单调性证明来替代不等式的证明,而在形式上,具体有如下两种.

(1)直接构造函数,之后再通过导数的有效应用将函数的单调性证明出来,再运用在同一单调区间内的函数,其自变量越大的时候,函数值越大或者是越小,就能够将不等式证明出来.

f(x)在(0,+∞)上为减函数,所以x>0时,f(x)

(2)把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性,从而达到证明不等式的目的.

例2设f(x)=x2+bln(x+1),b≠0.证明对任意的正整数n,不等式都成立.

证明:当b=-1时,f(x)=x2-ln(x+1).

令h(x)=x3-x2+ln(x+1).,则h′(x)>0在(0,+∞)上恒成立.

h

(x)在(0,+∞)上单调递增,则h(x)>h(0)=0.

即x>0时,有x3-x2+ln(x+1)>0.

所以ln(x+1)>x2-x3.

2.利用导数求出函数的最值后,再证明不等式.

除此之外,导数还具备求函数最值的功能.在证明不等式成立的时候,可以将不等式的证明转变成为求函数的最值.

例3 求证:n∈N*,n≥3时,2n>2n+1.

证明:要证明原式,只需证2n-2n-1>0成立.

设f(x)=2x-2x-1(x≥3).f′(x)=2xln2-2.

由x≥3,得f′(x)≥23ln2-2>0.

所以f(x)在[3,+∞)上为增函数.

所以f(x)的最小值为f(3)=1>0.

所以n≥3时,f(n)≥f(3)>0.

即n≥3时,2n-2n-1>0成立.

即n∈N*,n≥3时,不等式2n>2n+1成立.

二、应用导数解决不等式的恒成立问题

在解决不等式的恒成立问题时,对于参数取值范围会有所涉及,一般是把变量分离之后,将其转换成m>f(x)(m

例4已知f(x)=ax4lnx+bx4-c(c>0)在x=1处取得极值-3-c,其中a、b、c为常数.

(1)试确定a、b的值;

(2)讨论f(x)的单调区间;

(3)若对任意的x>0,不等式f(x)≥-2c2恒成立,求c.

分析:(1)a=12,b=-3.过程略.

(2)f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).过程略.

(3)由(2)知f(x)在x=1处取得极小值f(1)=-3-c,这个极小值也就是最小值.要使f(x)≥-2c2恒成立,只需-3-c≥-2c2即可.

1.魏红艳.不等式“恒成立”占据半壁江山.民营科技,2010(06).

3.廖冬梅.深入研究教材例析导数的应用[J].新课程(教研),2010(05).

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