导数在不等式中的应用

☉山东省莱芜第一中学 王 强 申玉芹

一、应用导数证明不等式

1.应用导数得出函数的单调性，并证明不等式.

我们从导数学习中知道，在某个区间内，若函数的导数的函数值大于0，其在这个区间内单调递增；若小于0，其在这个区间内单调递减.因此，在进行不等式的证明时，就需要考虑到不等式的自身特点，例如构造函数，就能够通过导数来将函数的单调性证明出来，然后再通过对单调性的利用进行不等式的证明.也就是用函数的单调性证明来替代不等式的证明，而在形式上，具体有如下两种.

（1）直接构造函数，之后再通过导数的有效应用将函数的单调性证明出来，再运用在同一单调区间内的函数，其自变量越大的时候，函数值越大或者是越小，就能够将不等式证明出来.

f（x）在（0，+∞）上为减函数，所以x>0时，f（x）

（2）把不等式变形后再构造函数，然后利用导数证明该函数的单调性，从而达到证明不等式的目的.

例2设f（x）=x2+bln（x+1），b≠0.证明对任意的正整数n，不等式都成立.

证明：当b=-1时，f（x）=x2-ln（x+1）.

令h（x）=x3-x2+ln（x+1）.，则h′（x）>0在（0，+∞）上恒成立.

h

（x）在（0，+∞）上单调递增，则h（x）>h（0）=0.

即x>0时，有x3-x2+ln（x+1）>0.

所以ln（x+1）>x2-x3.

2.利用导数求出函数的最值后，再证明不等式.

除此之外，导数还具备求函数最值的功能.在证明不等式成立的时候，可以将不等式的证明转变成为求函数的最值.

例3 求证：n∈N*，n≥3时，2n>2n+1.

证明：要证明原式，只需证2n-2n-1>0成立.

设f（x）=2x-2x-1（x≥3）.f′（x）=2xln2－2.

由x≥3，得f′（x）≥23ln2－2>0.

所以f（x）在［3，+∞）上为增函数.

所以f（x）的最小值为f（3）=1>0.

所以n≥3时，f（n）≥f（3）>0.

即n≥3时，2n-2n-1>0成立.

即n∈N*，n≥3时，不等式2n>2n+1成立.

二、应用导数解决不等式的恒成立问题

在解决不等式的恒成立问题时，对于参数取值范围会有所涉及，一般是把变量分离之后，将其转换成m>f（x）（m

例4已知f（x）=ax4lnx+bx4-c（c>0）在x=1处取得极值-3-c，其中a、b、c为常数.

（1）试确定a、b的值；

（2）讨论f（x）的单调区间；

（3）若对任意的x>0，不等式f（x）≥-2c2恒成立，求c.

分析：（1）a=12，b=-3.过程略.

（2）f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0,1）.过程略.

（3）由（2）知f（x）在x=1处取得极小值f（1）=-3-c，这个极小值也就是最小值.要使f（x）≥-2c2恒成立，只需-3-c≥-2c2即可.

1.魏红艳.不等式“恒成立”占据半壁江山.民营科技，2010（06）.

3.廖冬梅.深入研究教材例析导数的应用［J］.新课程（教研），2010（05）.