谈谈高一函数概念的有效教学策略

☉广东省中山市华侨中学 张立平

数学学习的过程就是概括的过程，概括就是由个别事物分离出同类事物的本质属性.所以没有概括学生就不能掌握理解概念，不能运用概念，就不能形成概念，那么概念所涉及的知识学生就不可能掌握.所以在函数教学中我们要重视函数概念过程教学，突出函数的本质.概念教学遵循从具体到表象再到抽象的过程，让学生从具体的实例出发归纳总结概念的本质属性.函数概念学习可分为三个阶段：感受阶段—抽象阶段—强化阶段.

一、感受阶段

学生的学习是一个主动建构的过程，主动地建立新知识和旧知识联系是学生学习概念的必要条件.在函数教学时，为了让学生感受事物的共性，教师可创设合适的问题情境，激活学生初中已有的函数知识.如：天体运动规律，早上骑车去上学等一些简单的例子.在这些过程中有没有变量，变量有几个，变量之间有没有依赖关系，这些依赖关系是函数吗？从现实的背景出发，让学生思考这一运动变化的过程，感受变量的关系，同时回忆初中所学函数的定义并抽象出函数.然后，在此基础上教师再提供一些各种类型的函数，帮助学生对函数再认识再抽象.高一书本上的例子有些太复杂，教师可根据具体情况选择课本上或生活中的一些实例.

实例1：一辆动力火车以时速140千米匀速行驶，速度y与时间x的关系？

实例2：一名同学买作业本，一本2块钱，买x（x∈{1，2，3，4，5，6}）本所付钱数y与买本数x之间的关系？

实例3：复杂一点的是分段函数：比如说水费，一个家庭一个月用水量6吨以下，每吨1.2元，超过6吨的部分每吨1.5元，那么用水量x与所付水费y的关系？

实例4：一名学生在安静状态下测量自己每分钟心跳次数，再在剧烈运动4分钟后测量自己每分钟心跳次数，每隔一分钟再测一次直到第五分钟，得到如下表格：

活动后时间第0分钟第1分钟第2分钟第3分钟第4分钟心跳次数 76 143 138 125 100

在这些实际例子中，实例1让学生感受到速度任何时间都是140，解析式为y=140，速度没有随时间的变化而变化，这是函数吗？实例2学生感受到虽然总钱数随着买的作业本的数目而变化，但是y=2x，x∈{1，2，3，4，5，6}，自变量只取六个整数，因变量也只有五个值，图像不是直线了，而是一些离散的点.实例3学生感受到水费也随着所用水量在变化，但是在不同的用水量范围中变化关系不同，即让学生感受到自变量取不同的值，解析表达式不同，图像也是有差别的，是由一些折线组成的.实例4让学生感受到心跳次数虽随时间变化而变化，但是不能用解析表达式表示.呈现各种类型函数的例子，让学生感受函数的本质.

二、抽象阶段

通过第一阶段学生充分地感受了生活实践中这些丰富的例子，教师可以引导学生分析实例，学生在经历解决实际问题的过程中逐步获得函数的本质是两个变量的对应关系.根据APOS理论学生在学习函数概念时，首先开始“活动”只是把函数看作一个简单的表达式或公式，这些式子中含有可以赋值和运算的字母；然后学生把函数看作可以输入输出的机器，于是知识就处于第二状态“程序”，这是一个循环的过程.当学生遇到一个更复杂的函数表达式时，学生就会又回到“活动”阶段，进而进一步完善函数“程序”.当学生经过多次“活动”熟悉后就把它内化成“程序”储存在脑中.因此教师可以用“集合”与“对应”的语言给出函数的定义.

实例1中，学生会出现疑问“函数定义是一个量随另一个量而变，而在例1中，速度没有随时间的变化而变化，关系表达式为y=140，这是函数吗？”教师需要引导学生分析这一过程，把“一个量跟着一个量变”和“一个量变，而另一个没有变”这二者统一起来，找出两者共同特征.教师可以做如下的分析：设时间t（小时），0→140，0.1→140，0.2→140，…，5→140，具体分析，让学生概括出时间与速度的关系是：t→140这一对应关系，抽象出对应的思想.

实例2中，所付总钱数y与买的作业本的本数可以用表格表示如下：

作业本数x 1 2 3 4 5 6所付钱数y 2 4 6 8 10 12

让学生观察表格，总结分析钱数与本数之间的关系：

1→2 ，2 →4 ，3→6，4→8，5→10，6→12，两个量之间满足如下关系x→2x.作业本数的取值是在1，2，3，4，5，6这六个值范围内，而钱数也是在六个值2，4，6，8，10，12这六个内取值，从而让学生抽象出两个量之间的关系是两个数集之间的对应.然后我们把实例1和实例2做一个比较，得出两者的共同特征：在实例1和实例2中两个变量之间的关系都是x有一个值，y都有一个唯一确定的值与之对应，无论对应的值相同或不同，只要存在一个确定值，可以是一对一，也可是多对一.要找到一个唯一确定的值，那必须有确定的对应关系，即对应法则来找到我们所要的唯一确定的值.在例1和例2中都是两个数集之间的对应.

实例3中，让学生感受自变量在不同的取值范围内，所对应的解析表达式是不同的.每一个确定的水量都对应了一个唯一确定的水费，让学生抽象出这一本质属性.

实例4中，学生会产生这样的问题“心跳的次数与时间的关系不能用解析式来表达，这是函数吗？”教师带领学生分析，由以上的例子我们可以总结出两个量之间的关系是“x一个值y都有唯一确定的值与之对应，要找到这个确定值，那必然要有个对应法则”.例3中这个对应法则就是每一个确定的时间都对应了一个唯一的心跳数，这个对应法则只是不能用解析式来表达，对应法则不必一定要是解析式.

由以上这么多例子，通过多次“活动”让学生抽象出函数的本质，我们可以让学生采用集合与对应的语言来描述函数概念，提出函数的符号.这里要对函数符号y=f（x）的教学予以说明.在函数概念得出以后，教师要对函数的抽象符号y=f（x）强调说明，指出y=f（x）只是一个数学符号，它是为y是x的函数的数学表示，而不是说y等于f乘上x；y=f（x）有时能用解析式来表达，而有时不能用解析式表达；f（x）与y＝f（a）是不同的，一般情况下，y＝f（a）表示当x取a时的函数值，函数还可以用g（x），F（x）等来表示.通过在多次“活动”的基础上让学生进一步完善函数在头脑中的“程序”.经过以上的直观感受，观察归纳，抽象总结，形式化、符号化生成函数概念.

三、强化阶段

在这一阶段，为了让学生避免在没有准确掌握函数概念本质时盲目的应用，教师可以举一些与日常生活息息相关或者和其他科学相关的正例，加深学生对函数概念的理解，强化函数的本质属性是“对应”.在对应的函数活动中，只有学生主动地反复利用函数“程序”，函数概念建构过程才可能得以实现.教师可以利用函数表示方式的多样性，让学生积极参与到各种活动中来.例如，教师可以设计这样一个情景，有一个同学去上学，一开始他徒步走了一段路程，后发现自己忘了拿数学书就立即返回拿上数学书，后又怕迟到，所以他立刻跑步上学，累了后继续走剩下的路程.让学生在平面直角坐标系中画出他走法的图像，用横坐标表示时间，纵坐标表示路程.教师再画出一些函数图像，让学生自己设计问题情境.这样让学生感受到函数与日常生活的联系，调动学生学习的积极性，加深学生对函数概念本质的理解.以上通过从典型、丰富的具体实例出发，激发与学生原有的认知结构的冲突，引起学生的积极思维，加强知识间的联系，抽象概括出函数的本质.教师帮助学生构建活动，通过多次活动让学生亲身体会、感受直观背景和函数概念的关系，引导学生对活动进行思考，内化为程序，从而抽象出函数的特性，认识函数的本质，对函数形式化和符号化，能对函数整体认识，在学生头脑中建构为一个具体的对象.函数的学习是一个不断完善深化的过程，学生在后续对具体的函数进行研究时，以头脑中的对象去进行新的活动，经过长期的学习进一步完善函数这一对象，逐渐形成关联的认知结构，建立起与其他概念的联系，形成个体头脑中的认知框架，即图示结构，并应用它解决与函数概念相关的问题.

1.贾随军.函数概念的演变及其对高中函数教学的启示.课程·教材·教法，2008，7.

2.吕世虎，王尚志.高中数学新课程中函数设计思路及其教学.课程·教材·教法，2008，28（2）.