强化左右脑协调训练的若干切入点

☉中国管理科学研究院思维科学研究所 陈振宣

脑科学的成果与科学发展史都证实左右脑协调训练的重要性，在数学思维训练中应从哪些切入口进行探索和研究是本研究中心迫切需要解决的核心问题.下面把个人思考的粗浅想法提出来供大家探讨.

一、构建数学概念、原理的实际模型

数学中的重大概念、原理大多存在不同的意象或实际模型，例如复数z=x+yi，其中i是虚数单位，x、y∈R，它的意象为复平面上的点P（x，y），又是以原点O为始点，点P（x，y）为终点的平面向量.在定义加、减运算之后，可导出重要不等式：

它的几何模型是：

z1、z2的 对 应 点 为 P1、P2，以为邻边的平行四边形OP1QP2，则：

图1

当且仅当z1=kz2（k>0），即平行而同向时等号成立.

当且仅当z1=kz2（k<0）即OP—→1、OP—→2平行而反向时等号成立.

众所周知，上述复数的模型或不等式的意象在解决有关复数问题时威力是十分巨大的.它是解决问题中数学思维的载体，也是左右脑协调训练的极佳载体，实例众多，不胜枚举.

值得说明的是数学重大概念、原理的意象在许多场合是有“形”的，但也不排斥是无“形”的，例如多项式的余数定理：f（x）被x-α除，所得余数为f（α）.

一定要为这一重要定理构造一有“形”的意象是不容易的.但如以下的符号语言表示：“f（x）=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=Q（x）（xα）+f（α）”，其中Q（x）为n-1次多项式，是人们在进行有关数学思维时常用的载体.

例1设多项式f（x）=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an是整系数n次多项式，并且有一个奇数α及一个偶数β使得f（α）及f（β）都是奇数，求证方程f（x）=0没有整数根.

当m为奇数时，m-α为两奇数之差，为偶数，（m-α）Q（α）必为偶数，f（α）为奇数.从①，有f（m）=（m-α）Q（m）+f（α）=偶数+奇数=奇数≠0；

当m为偶数时，m-β为两偶数之差，为偶数，（m-β）Q（β）必为偶数.从②，有f（m）=（m-β）Q（β）+f（β）=偶数+奇数=奇数≠0.

所以无论m为何整数，f（m）≠0，即方程f（x）=0无整数根.

在数学里这类用数学符号语言表示的定理公式，它们的意象并非几何图形，因而可以说是无“形”的，但是符号语言仍然是有外形的，只不过不是几何图形罢了.人们用数学符号语言进行思考并非仅仅是左脑的活动，而是左右脑协调的活动.有关这一判断的正误，已经写信向脑科学研究部门求证.

二、数学语言形态的转化（互译）是左右脑协调的基本训练

笔者在拙著《高考数学命题研究与试题评析》（上海科教出版社1990年出版）中提出过“数学语言形态有三：普通话语言（或称口头语言、自然语言）、符号语言与图像语言”.在解决问题的数学思维中经常需要进行语言形态的转化（互译），大量问题就是靠这种“互译”解决的.

例2 设p≠0，实系数一元二次方程z2-2pz+q=0有两个虚根z1、z2，它们在复平面内的对应点分别为F1、F2，求以F1、F2为焦点且过原点的椭圆的长轴长.

解：实系数一元二次方程z2-2pz+q=0的两个虚根分别为z1、由韦达定理，有

可见这里解决问题的关键是将符号语言“译”成图像语言，形成思维上的飞跃，当然复数的概念、运算、韦达定理则是不可缺少的工具.

这类实例不仅复数中有，在数学其他分支中也比比皆是.

图2

三、定理、公式的内涵与外形特征的统一意象的构建

在第一点中，已经涉及这一问题.由于这在数学中的广泛存在，这里再深入剖析一下.数学定理、公式都是有条件、结论以及适用的范围，都是有意义的.根据内涵的不同需要分别用不同的数学语言形态表示，不言而喻数学公式都是用符号语言表示的.

例3 如△ABC的余弦定理：

它的内涵是三角形中：“两边的平方和与此两边及其夹角余弦之积的两倍之差等于第三边的平方.”如果仅仅只死记住公式的外形没有把内涵与公式的外形特征了然于胸，那么遇到如下的问题，就很难与余弦定理联系起来.

已知α+β+γ=60°，求sin2β+sin2γ-2sinβsinγcos（120°+α）的值.

一般会动用三角恒等变换求解，不会从余弦定理去思考，其实对余弦定理的内涵与外形了然于胸、又联想到正弦定理（a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC） 的人常会注意到：β+γ+120°+α=180°，想到以sinβ、sinγ、sin（120°+α）为边恰好构成一个外接圆半径为的三角形，无需计算即得：

左右脑协调产生了意料之外的妙解！

这又是左右脑协调的产物，它比其他几种解法都明快.

四、思维方法的概括与运用

方法论大师笛卡儿说过“最有价值的知识是关于方法的知识”.其实方法就是一种可以反复应用的模式.纵观数学思维方法的形成（概括）的过程，其实是人们在解决问题的实践中通过分析归纳找出某种规律，逐步形成一种有形或无形的模式.模式越抽象，应用越广泛.不妨考察一下数学模型方法的形成过程，我国的数学经典《九章算术》在方程一章中提出18道有关线性方程组的应用题，都归结为建立方程组来解，方程组实质上是一种简单的数学模型，这在人们的思想中已萌芽了简单的数学模型方法，在当时可叫做方程思想，也就是把方程看做从已知探索未知的桥梁.以后演变成利用方程与不等式（混合组）探求未知数（或参数）的变化范围，这时的数学模型已变成混合组，当问题发展到在某变化过程中寻求目标函数的最值，这时的数学模型就是问题中的目标函数及变量的限制条件的总和.随着问题的复杂化，数学模型越来越多样化.

随着随机现象进入数学的研究领域，人们又概括出“古典概率模型”与各种形式的概率模型，以古典概率模型为例：

首先应将实际问题抽象成等可能事件的样本空间，然后求样本点的总数（即样本空间：全集Ω的势），再求有利事件E包含的样本点的个数，即n（E），然后求得事件E的概率

对于各种形式的随机问题，凡属等可能事件，都可通过建立它们的样本空间按上述模型解决.同一问题由于所建立样本空间的不同，可以有不同的解法.

例5 袋中装有a个黑球，b个白球，现在把球随机地一个个摸出来，求第k次摸出的一个球是黑球的概率（1≤k≤a+b）.

解法1：给a+b个球编号，把摸出的球依次编排在a+b个位置上，这样样本空间与a+b个相异元素的全排列相当，那么n（Ω）=（a+b）！，而第k次摸出的一个球是黑球（有利事件）的场合数，可以看做第k个位置上放置一个球是黑球（有A1a=a），而余下a+b-1个位置上放置a+b-1个相异元素的全排列，即（a+b-1）！.所以n（E）=A1

a（a+b-1）！

解法2：如果样本空间考虑为第k次摸球，那么n（Ω）就是从a+b个球任选一个，n（Ω）=C1a+b.有利事件E即第k次摸出的是黑球，

当然还可以选择别的样本空间，获得其他解法.正由于样本空间构建的多样性、灵活性、抽象性，因而概率问题是教学中的难点.

人们通过建立不同的数学模型解决了许许多多的实际问题，逐步形成关于数学模型方法的框图.

数学模型方法是应用广泛的思维方法，它的形成与发展过程充分展示了人脑认识规律的过程.抽象概括中左脑功不可没，但最终形成框图（从“无形”到“有形”）时右脑的想象功能是左脑所无法取代的.

再看看构造法.无论是构造函数还是构造图形，都是从问题的内涵和外形特征作为切入点的.

例如前面提到的例3就是通过构造符合题设的一个三角形获解的，那么怎样想到构造三角形的呢？

这是从题的目标“求sin2β+sin2γ－2sinβsinγcos（120°+α）的值”时外形特征与三角形余弦定理的外形特征相似而获得启发的，经过与正弦定理的整合，β+γ+120°+α=180°，如果取三角形的外接圆半径为，那么sinβ、sinγ分别是β、γ的对边，sin（120°+α）就是120°+α的对边，答案就跃然纸上了.

可见构造的基础是平时学习积累的定理公式的内涵与外形特征统一的有形或无形的意象与题中的条件、结论（或追求的目标）的协调与外形特征的相似引起触发，于是要构造的对象涌现脑际，奇妙解法也就产生了.

再看一个简单例子.

图3

这是直角三角形的勾股定理的意象促成了直角三角形的构造.这就是前面提到要重视定理、公式的内涵与外形特征统一意象的构建的原因之一.限于篇幅关于其他常用数学思维方法就不一一作剖析了.

五、数学文化的陶冶

脑科学的新进展已证实情感与思维的千丝万缕的联系，对于情感智力的开发也是左右脑协调研究的重要领域.

数学是科学，但又是重要的文化组成.数学中蕴涵着无穷的魅力，许多奇思妙想，许多数学的发现，令人匪夷所思，有的奇妙解法就是一篇优美的逻辑诗.

数学教育中决不可忽视数学文化的陶冶作用，而应注意对学生好奇心、好胜心的保护.对于学生的创造性思维应大力发扬.在教材中编入一些阅读材料的“数苑奇葩”、“数学引趣”、“名题欣赏”、“大师小传”、“趣题妙解”等，对学生情感智力的提升，品德的升华，都能起到潜移默化的功能.

六、师生情感交流

师生情感交流，教师人格魅力的感染，师爱生，生尊师，教学相长，相互促进，这些都是情感教育中不可忽视的环节.由于情感与思维的千丝万缕的联系，所以师生情感交流也是左右脑协调研究不可忽视的一个侧面.这一领域有许多未知等待人们去开发.

七、研究性课题

从青少年时期就应该开始培养探究自然规律的欲望、探究的兴趣.追求真理，永远不满足已经取得的结果，这些是成长为拓展型、研究型人才不可缺少的品质.在教学中和教材、辅导读物的编写中都应抓住不放，搭建可研究的平台，形成研究的氛围，让学生去施展他们的才能.如在《新高中数学知识·思想·能力》高一下P66“品尝发现三角公式的滋味”、P395“皇陵的墓门是怎样关闭的”，高二上P378“圆锥曲线内接直角三角形”等.在教学中还可吸收改造刊物上他人的经验，当然还可以自己发掘创造，这一领域是十分广泛的，有待于人们去创造积累.

八、应用课题

培养用数学的意识，用数学眼光去看问题，这是与价值观有关的教育，勇于实践敢为人先，合作交流，培养愿为社会主义祖国奉献才智的志趣，这与情感智力的激发提升关系密切.在教育中和教材、教育辅助读物的编写中都应在这方面下工夫，《新高中数学知识思想能力》这套书中有不少应用课题的阅读材料可供参考，这里不细说了.

九、改进学法，形成良好的学习习惯

1.言必有据，行必有规，形成踏实严谨的学风.

2.勤于思考，善于思考，积极反思.

3.形成良好的书写习惯，不断提高逻辑表达能力.

4.从厚到薄，从薄到厚，养成勤于写笔记的习惯.

5.做好错误记录薄，争取不再出现类似错误.

6.勇于实践，敢为人先，提高合作交流的能力.

7.构建知识的逻辑结构的框图.

以上列举的九个方面，几乎覆盖了整个数学教育领域，都直接或间接与左右脑协调训练有关.左右脑协调训练的切入点有很多，需要我们去开发、去创造，当我们真正找到了左右脑协调训练的有效方法时，就可以做到既减负又提高素质，我愿和大家一起，把左右脑协调训练的作用发挥到极致，为科教兴国作奉献！