确定直线与圆位置关系的四种有效途径

☉江苏省沭阳高级中学 汪 玉

直线与圆的位置关系是高考考查的重点内容之一，它常常与平面几何、圆的知识及直线的斜率、截距等知识进行综合，结合数学思想、方法，考查考生的能力.为了帮助同学们更好地学好直线与圆的位置关系，为此从以下几个途径阐述如何借助直线与圆的方程判定其位置关系.

已知直线l：Ax+By+C=0（A、B不能同时为0），圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0）.

一、代数法

例1 （2008年辽宁高考）圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是（ ）.

分析：研究直线与圆没有公共点的取值范围问题，可以利用联立直线与圆的方程消去y（或x）得到的关于x（或y）的一元二次方程，借助方程根的判别式Δ<0建立不等关系求解即可.

二、几何法

数形结合思想是解析几何中重要的数学思想，这里的“数”包括代数式、函数解析式、方程等；“形”则主要是指有形的数学用具、数学模型和几何图形与直角坐标系下的函数图像.数形结合指的是借助于直观形象模型和函数图像等理解抽象的数学概念以及抽象的数量关系.现谈谈如何运用数形结合的方法来处理直线与圆的位置关系.

解析：若m<0，则符合题意的条件是：直线x＋y＝2m＋1与圆（x－2）2+y2=m2有交点，从而由与m<0矛盾.

若m＝0，则代入后可知A∩B=Ø.

点评：本题主要考查集合概念、子集及其集合运算、线性规划、直线的斜率、两直线的平行关系、点到直线的距离、圆的方程、直线与圆的位置关系、分类讨论、解不等式.

三、三角换元法

对于圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2，令x-a=rcosθ，y-b=rsinθ，θ∈［0，2π），即圆C的任意点都可表示为（a+rcosθ，b+rsinθ）（θ∈［0，2π））.根据三角函数图像（或三角函数线）及函数y=msinx+可知方程msinx+ncosx=t在区间［0，2π）内的解的情况为：当时有一解；当|时无解.于是将圆C上的点（a+rcosθ，b+rsinθ）代入Ax+By+C=0，得A（a+rcosθ）+B（b+rsinθ）+C=0，即Arcosθ+与|Aa+Bb+C|的关系来确定：直线l与圆C相交；直线l与圆C相切；Bb+C|⇔直线l与圆C相离.

例3 若过点A（4，0）的直线l与曲线C：（x-2）2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（ ）.

分析：研究直线与圆有公共点时的取值范围问题，可以借助方程思想利用判别式Δ≥0建立不等式关系进行求解；也可以根据几何性质，借助直线与圆有公共点时的圆心到直线的距离d≤r（圆的半径）建立不等关系进行求解；倘若三角换元（圆的参数方程），活用三角知识得到使得直线与圆有公共点的等价条件，求解格外简练，从中定能体会数学解题的奥妙所在，韵味无穷.

解析：设过点A（4，0）的直线l的方程为y=k（x-4）.

曲线C：（x-2）2+y2=1上的任意点（2+cosθ，sinθ），则sinθ=k（cosθ-2），即sinθ-kcosθ=-2k.

四、转化法

若动直线l过定点P（x0，y0），根据定点P与圆C的位置关系进行转化来确定：|PC|r⇔定点P在圆C外⇔直线l与圆C相切、相交或相离（其中|PC|表示点P与圆心C的距离）.

PC

例4 已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，动直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）.求证：无论实数m取何值，动直线l与圆C总相交于两点.

分析：通常情况下，研究直线与圆的位置关系时，可联立直线与圆的方程消元整理成关于x或y的一元二次方程，借助判别式判断方程解的情况确定直线与圆的位置关系，运算量很大；也可以利用圆心到直线的距离与半径的比较来确定.但是本题中的距离的最值求解相当复杂，为此抓住动直线过定点这一几何性质，根据定点到圆心的距离与圆的半径进行比较（点与圆的位置关系）来解决问题特别简便.

证明：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0可化为（2x+y-7）m+x+y-4=0.

故无论实数m取何值，直线l与圆C总相交于两点.