略谈新课程背景下高中数学教材配套习题的改革

☉上海市建平中学 李 坚

我国中学数学课程改革在数学习题方面改革的方向是：“…突出通性通法，削弱特殊性质与运算技巧.如大量按类型分类的人为应用题，用因式分解等特殊技巧解方程、化减代数式等繁琐的运算，严密地论证十分复杂的几何问题，复杂的三角恒等式证明，和、差、倍、半角公式的数值应用，用纸笔解某些特殊的超越方程等等”.

与教材配套编写的练习及习题其目标有三个方面：

1.再现教材中的公式、定理，以训练学生巩固在教材中所学的知识点的记忆.

2.对学生进行知识点的变式训练，以加深学生对知识点的理解，掌握知识点的基本应用和数学基本方法.

3.对学生所学知识点进行必要的综合，隐含较强的运算技巧，体现一定的数学方法和思想，以训练学生达到熟练掌握知识点，提高数学能力和一般能力.

编制比较好的练习题可以很好地达到上面三个目标，但编制不好的题目不仅起不到上面的作用，而且会对学生的数学学习产生干扰，带来负面作用.特别是在当前我国社会发展日新月异、基础教育的内容一改再改的情况下，数学教育的目标与手段均与以前有很大不同.以前的许多所谓的好题已经“老迈”.在这里仅以高一数学第二册第六章三角比为例（华东师范大学版）.

当前中学数学教材与各级测试中所用习题有以下三个问题值得关注.

一、解题方法陈旧，过度关注技能技巧

这种解题思路体现了“转化与化归”的一般数学思想，但在解题时首先需要考虑）的符号问题，即判断角是锐角.其次需要记忆并运用两个公式：sin2x+cos2x=1，cos（arccosx）=x，x∈［-1，1］，由于公式较多，造成学生解题时思维链过长，因而容易产生解题障碍.目前我国高中数学教材中三角比公式的记忆要求已经大大降低，但同角基本关系式，诱导公式，和、差、倍、半角公式却还被要求记忆，难道不记住这些公式，这样的问题就不能解决了么？

这种解法利用了三角比定义，比前一解法所用数学知识更一般，既摆脱了烦琐的公式记忆与应用，又有利于学生理解“是一个锐角”的数学本质，有利于学生理解反余弦三角比的概念.

图1

许多材料中会把前一种方法叫“代数法”，后一种方法叫“几何法”或“数形结合”，而且中国传统数学解题方法很强调“数形结合”，但更多的是把它作为一种解题技巧和方法，是以解决数学题目或更简洁地解决数学题目为目的，但在中学数学教学过程中，学生解题活动的目的不是为了掌握解题技巧和解题方法，而是为了掌握数学概念，形成数学思想，这是以解决问题为目的的数学家的解题活动与学生的解题活动最本质的区别.所以教师在教学过程中向学生展示哪一种解题方法的依据不是哪一种方法简单，而是哪一种方法更有利于学生理解最基本的数学概念，获得最基本的数学思想.

二、题目语言陈旧、不严密

例2 求sin75°的值.

数学是一门准确而严密的学科，它要求语言要精确表达，不能造成歧义，此题是为训练学生掌握公式sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ而设计的，但我们看到题目中并没有明确要求利用公式sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ求，所以，若学生利用计算器求sin75°也没有错（例题1中也存在这样的问题），但这显然背离了命题者的意图，而这种背离是命题者的错误，不是解题者的错误.在没有计算器以前，学生只能用公式，这样叙述还没有什么问题，但有了计算器以后，许多本来只能用公式解决的问题可以改用工具（计算器等）解决，这种叙述就出现问题了.因此，此题更标准的叙述应该是：“利用公式sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ求下列各三角比”或“求下列三角比的精确值”（若学习完二倍角公式后还可以用二倍角公式解决）.

三、各种测试题题量偏大，题目运算量偏大，运算速度仍然是数学测试取得好成绩的基础

例3 在△ABC中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c,c4-2（a2+b2）c2+a4+a2b2+b4=0.求内角C的大小.

此题是为了训练学生掌握余弦定理的应用而设计的，但在用余弦定理以前，需要学生把式子变形成［c2-（a2+b2）］2=a2b2，显然这么复杂的因式分解不是多数学生能够轻松完成的，此题由于因式分解这一难点，造成出题目标与实际解题效果的背离，并对学生产生误导，因为这么复杂的因式分解没有必要让学生掌握，从而浪费学生大量时间.我们要提高题目的难度，不是增加运算的难度，而是应当增加开放题、探索题、体现时代特点的应用题，加大题目中对基本数学概念与数学思想的考查，加大对基本数学能力和一般能力的考查.

周雷鸣和胡意香的调查显示，浙江奉化一年级（7岁）学生在15分钟内完成90道100以内的加减法运算，较差的学校平均用时9分52秒，平均成绩87.4，通过率96%.张奠宙老师以为“我们可能对在校学生的计算速度过分苛求了，但对于速度的要求仍是中国数学教学的目标之一.”这种对解题速度的苛求，挤占了学生动手、动口、动脑及提出和解决实际问题的时间，使数学教学改革的新理念无法真正贯彻到教学实践之中，大多数数学课堂教学仍然“旧瓶装新酒”.

传统高中数学教学强调的三种基本能力“计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力”在新课程改革背景下被“数学抽象能力、数学符号变换的能力、数学应用能力”所代替.这种替代是社会进步的必然，在上世纪五六十年代，我国没有计算机，科学研究所需要的大量数学运算需要人工完成，培养计算能力是那一时代的需要，到了计算机普及的21世纪，我们再培养速算人才，除了娱乐的需要不再有很大的实际意义.

课程内容要从整体上体现改革的理念和精神，而不仅仅表现在教材中数学知识的编排上，与教材中数学知识相配套的数学习题是教材的重要组成部分，也应当与新的课程概念理念与精神相一致，毕竟，学生是通过做数学习题来掌握数学知识的.

1.顾泠沅等.寻找中间地带——国际教育改革的大趋势［M］.上海：上海教育出版社，2004.

2.华东师范大学出版社.高一第二学期数学，第57页.

3.数学（练习部分）高中一年级第二学期.华东师范大学出版社，2000，第21页（15）.

4.张奠宙，戴再平.中学数学教学中的“双基”和开放题问题解决［J］.数学教育学报，2005，11（4）：1—8.