基于杆式弹性易损部件的非线性系统跌落冲击研究

高 德，卢富德

(1.浙江大学 宁波理工学院，宁波 315100;2.浙江大学 航空航天学院，杭州 310027)

在多自由度缓冲包装设计中，主要有刚性物品包装的缓冲设计和刚性－弹性体物品包装的缓冲设计［1］。对于单自由度刚性物品包装缓冲设计，Newton［2］利用振动理论基础，主要研究了单自由度物品包装;外激励情况下的跌落冲击;包装材料的力与变形关系，涵盖了三类典型缓冲特性:线性、硬特性(立方硬特性、正切)、软特性(立方软特性、双曲正切);求解响应规律、响应最大位移、响应最大加速度、放大因子，引入了物品允许加速度概念。该文开创并奠定了包装动力学，打开了缓冲包装设计的大门。对于多自由度刚性物品的缓冲设计，郑志银［3］以国内普遍使用的一种平板玻璃集装箱为基础，考虑了两个平动与一个转动的耦合，建立了三自由度力学模型，讨论了影响结构缓冲效果的物理参数，提出了集装箱缓冲结构合理性设计的原则与参数选取。后来，高德等［4－5］针对实际情况的缓冲包装结构，即在包装物与外包装箱内部采用棱角或侧面衬垫，研究了各参数平动与转动的耦合规律。此外，高德等［6］还研究了聚乙烯缓冲材料多自由度跌落包装系统并进行了优化设计。对于刚性－弹性体物品包装的缓冲设计，奚德昌等［7］研究了具有简支梁弹性部件工艺品包装的防震。研究者将易损件简化为简支梁式结构，分析并研究了与产品主体相连接的包装材料参数、与易损部件相连接的缓冲材料参数对包装系统的影响。对于产品的弹性易损件为杆式结构的形式，属于多自由度刚性－弹性体物品包装的缓冲设计，该模型较为复杂，研究较少，只有在文［1］的专著中，讨论了建立模型、运动微分方程和回弹后的运动的基本情况。

本文拟采用电子产品内部杆式弹性易损零件为研究对象，通过将产品主体假设为刚性，建立刚性－弹性体的耦合模型及运动微分方程，提出解决此类问题的算法，为刚性－弹性体缓冲包装设计提供参考依据。

1 建立杆式耦合包装系统模型

电子产品内部大量存在杆式结构零件，这部分相对于物品主体，其特点是质量和弹性模量都很小，很难把这部分简化成集中质量－弹簧系统，本文把杆式结构处理成均匀分布的弹性体结构，将物品主体简化为刚性，考虑此部分与物品主体的耦合作用，建立的耦合模型如图1所示，物品主体m与包装箱之间用低密度发泡聚乙烯缓冲包装材料，y1为产品主体的位移，f1(y1，)为发泡聚乙烯材料的恢复力函数，H为物体的跌落高度。

图1 具有杆式易损部件的跌落包装系统Fig.1 Packaging system with bar type critical component

在杆结构上建立坐标系，坐标原点为杆与产品主体连接的部位，杆的轴向坐标为x，杆的横截面位移为y2，如图2(a)所示。在杆上x处取长为dx的微元段，在任意瞬时t，此微元段的轴向位移用y2(x，t)表示;E为弹性模量，I为截面惯性矩，ρ杆的密度，A0为截面面积。

图2 微元dx的受力图Fig.2 Force diagram of Infinitesimal section

取微段dx，如图2(b)所示，其质量 dm=ρA0dx，上下两边的位移分别为y和，所以微段的应2变为:

由牛顿定律，得运动微分方程:

将式(2)和dm的表达式代入上式得:

式中:α为杆的纵波传播速度。

式(5)的初始条件为:

式(5)的边界条件为:

式(7)中y1为产品主体的位移，主体的振动方程为:

式中:A为缓冲材料的面积，h为缓冲材料的厚度;a1，a2，a3是基于实验识别的参数。

式(9)的初始条件为:

式中:g为重力加速度，取值为9.8 m/s2。

综合以上，得产品主体与杆式易损件的耦合动力学方程为:

2 耦合动力学模型算法设计

式(11)为微分与偏微分混合方程组，运用差分方法，即可解上述方程组。本文所涉及的杆式易损件质量小、弹性模量小，不考虑易损件对产品主体的作用。

由差分公式得:

令 x=iΔx;t=jΔt.j=1，2，…，n1(n1是时间点数);i=1，2，…，n2(杆的段数)。

把式(12)代入(11)式，得:

式中:r=α2Δt2/Δx2;α2=E/ρ

y2(2，j)，y2(n，j)由式(11)的边界条件得到。运用公式(12)与(13)即可求解动力学方程(11)。

3 数值算例

某电子产品，质量m=3kg，内部有杆式易损部件，密度 ρ=0.5 g/cm3，弹性模量 E=10 MPa，长度 l=0.03 m，杆的比例极限 σp=1.2 MPa，杆的横截面积 A0=5mm2，电子产品主体与外界连接用的缓冲材料力学性能如式(9)所示。由跌落试验得到的发泡聚乙烯缓冲材料参数为 a1=280 Pa·s，a2=0.0894 MPa，a3=1.91，面积 A=0.01 m2，厚度 h=0.035 m;在跌落高度 H=0.5 m下跌落，分析并校核缓冲材料是否合理。

图3给出易损件在跌落冲击下的响应，图3(a)为易损件的绝对运动y2，图3(b)为易损件相对产品主体的位移。主要结论是:易损件的自由端相对位移达到最大值4×10－4m，方向向下，易损件的绝对运动随长度变化不明显。主要原因是易损件的相对位移远小于缓冲材料的变形，即产品主体的位移。

图4给出易损件的绝对加速度和相对加速度，主要结论是:绝对加速度随长度的变化而变化显著，当时间t为0.0065，x为0时，易损件绝对加速度最大值为180 g;当时间 t为0.0071，x为0.03 时，易损件的自由端的绝对加速度最大值为248 g，如图4(a)所示。为了直观显示易损件沿长度变化情况，图4(b)给出易损件与产品主体的相对加速度。

图3 易损件的绝对运动及相对运动Fig.3 The absolute displacement and relative displacement of the critical component

图4 易损件的绝对加速度、相对加速度Fig.4 The distribution of relative acceleration and absolute acceleration

图5给出了易损件的应力分布，图4(a)、(b)所示易损件的自由端加速度为最大值时，杆的端部应力为0;虽然图4(a)、(b)在x=0端的最大加速度小于自由端的最大加速度，但应力达到最大值，为0.374 MPa。在质量－弹簧系统中，集中质量最大加速度值是求解的一个关键量，因为它是决定产品破坏与否的重要参考，由于不能对均匀分布的弹性部件建立质量－弹簧系统，所以加速度值已不能作为衡量多自由度刚性－弹性体缓冲包装产品破损与否的判据。需要将其按照连续体处理，计算最大应力值是否超过弹性部件的比例极限，若超过比例极限，意味着弹性部件会出现不可恢复的塑性变形，从而可能导致丧失产品整体功能。本文所研究选用的缓冲材料的最大应力小于杆的比例极限，在弹性变形之内，包装产品未发生塑性变形。因此，所选用的缓冲材料满足要求。

图5 应力沿杆的分布Fig.5 the stress of the bar critical component

4 结论

本文对产品的弹性易损件为杆式结构的多自由度刚性－弹性体物品包装的缓冲设计进行了系统研究，通过将产品主体假设为刚性，建立了刚性－弹性体的耦合模型及运动微分方程，提出了解决此类问题的算法，并运用差分方法，得到电子产品杆式易损零件非线性包装系统的数值解，主要结论如下:

(1)由于杆式易损件的相对位移远小于缓冲材料的变形，即产品主体的位移，易损件的绝对运动随长度变化不明显。其中电子产品杆式易损件的自由端最大相对位移为4×10－4m，方向向下;

(2)绝对加速度随杆式易损件长度变化而变化显著。易损件最大加速度出现在自由端，最小加速度出现在杆与主体连接的位置，即杆的根部;

(3)杆式易损件加速度最大处，应力最小，加速度最小处，应力却最大。若最大应力未超过弹性杆的比例极限，杆的变形即可恢复，如果超过比例极限，弹性杆会产生塑性变形而丧失产品功能。

［1］奚德昌，陈庆华，王振林，等编著.包装结构设计［M］.杭州:浙江大学出版社，1994.

［2］Newton R E.Fragility assessment theory and practice［R］.Monterey Research Laboratory，Inc.Monterey，Califonia，1968.

［3］郑志银，奚德昌.一种平板玻璃集装箱缓冲系统在半正弦型冲击激励下的响应［J］.云南工学院学报，1990，6(1－2):233－239.

［4］高 德，卢富德.具有转动包装系统的正切非线性模型冲击响应研究［J］.振动与冲击，2010，29(10):131 －136，210.

［5］高 德，卢富德.考虑转动的双曲正切与正切组合模型绶冲系统冲击响应研究［J］.振动工程学报，2012，25(1):6－11.

［6］高 德，卢富德.聚乙烯缓冲材料多自由度跌落包装系统优化设计［J］.振动与冲击，2012，31(3):69 －72.

［7］奚德昌，彭南陵.具有简支梁弹性部件包装物品的防震［J］.包装工程，1989，10(1):43 －48.