基于曲面片迭代物理光学法的电磁耦合计算

隋 淼 许小剑

（北京航空航天大学，北京 100191）

引 言

为了保护精密雷达天线不受外界强烈气流和恶劣大气环境的干扰，复杂介质材料天线罩广泛地应用于飞机、导弹和舰船等移动平台。对于电大尺寸薄层均匀介质天线罩的电磁特性分析，目前被广泛应用的是高频法［1］，其具有物理概念直观、计算速度快的优点，主要包括几何光学（GO）法、物理光学（PO）法等。而对于电中、小尺寸，具有复杂介质材料且罩壁厚度可以与波长相比拟的天线罩来说，只能采用如有限元法（FEM）、矩量法（MoM）等数值法求解［2－4］。与传统天线罩与有源天线之间辐射问题的研究不同，本文研究的是无源的罩内散射体被薄层天线罩包围后，其散射特性的变化。这种意在增强目标雷达散射截面（RCS）且又加入天线罩以保证飞行器基本飞行动力学需要的结构，在实际靶标测试中具有重要应用。

对于材料结构简单的电大尺寸薄层天线罩，Hémon等［5］采用基于迭代物理光学（IPO）法［6］的等效电磁流迭代公式，分析了薄层天线罩与罩内腔体之间的电磁耦合作用。IPO是一种基于磁场积分方程（MFIE），迭代获得目标表面等效电磁流分布的电磁散射计算方法。与高频方法相比，由于其可部分包含诸如反射－反射（RR）、反射－绕射（RD）、绕射－反射（DR）、绕射－绕射（DD）等散射分量，具有更高的精度；与数值法，特别是需要作体剖分的FEM相比，其具有较少的未知量，即更高的计算效率。传统IPO方法基于平面片描述目标的几何外形。对于诸如天线罩这样曲面曲率变化较大的目标表面，如按照IPO方法λ／3－λ／4的剖分要求，往往不能正确描述表面曲率较大处的几何信息，即不能保证面片离散对目标表面的拟合精度，以及各个采样点处的法矢方向的正确性，最终将导致散射场计算结果的误差。但如果采用更细致的剖分尺度，虽然对目标表面的拟合程度有所改善，但却失去了IPO对剖分要求较低的特点，使计算时间大幅增加。

将传统基于平面片的IPO方法推广到曲面片上，发展了基于曲边面片的IPO方法，即CIPO方法，并将其应用于分析薄层天线罩与罩内散射体之间的电磁耦合作用。与基于平面片的IPO方法相比，该方法可以在不提高剖分要求，甚至是降低IPO剖分要求的情况下，改善由面片离散带来的拟合误差，以及目标表面曲率较大处表面法矢的精度，从而获得精度较高、速度较快的目标电磁散射计算结果。

1 基于曲边面片的迭代物理光学法

曲面三角形贴片对目标表面进行剖分具有很强的灵活性，它不仅能够处理复杂的精细结构，还能更好地模拟曲目标表面。采用由六个结点（三角形的三个顶点和三条曲边中点）定义的二阶单元。通过参数变换，将直角坐标系下的点r（x，y，z）映射到参数空间下的点r（ξ1，ξ2，ξ3），得到参数坐标系下的平面三角形单元，如图1所示。具体表达式为

式中：rj表示六个控制点的位置矢量；参数坐标ξ1和ξ2的变化范围均为［0，1］，且满足

式中：只有ξ1和ξ2为独立变量；φj为定义在参数ξ1、ξ2上的形函数，其表达式为

图1 曲三角形面片

CIPO方法与基于平面片的IPO方法相比的主要区别为：CIPO需要在曲面片上积分。以完纯导体（PEC）目标和高斯积分为例，目标表面等效电流迭代式为

式中：p为第m个曲面片上的积分点；q为第n个曲面片上的积分点；n（r′q）为源点r′q处的法矢量；ωq为高斯积分权值；Jq为点r′q处的雅各比行列式。

单位外法向矢量可表示为

式中：

将实空间曲面积分转化为参数空间平面积分的雅各比因子为

式（9）的迭代过程可以在达到一定的迭代次数或者电流达到一定的收敛准则后停止。一种有效的收敛测试方法是计算第q次迭代后的目标表面各个面片总电流与第q－1次迭代后目标表面各个面片总电流的差异。如果差异较小，则认为电流收敛。用算式可表示为

对于一般的精度要求，取δ＝0.05即可。

此外，快速遮挡判别［6］以及快速远场近似技术［7］同样可以用于对式（9）进行加速。

2 天线罩与罩内散射体电磁耦合计算公式

采用文献［5］中介绍的基于IPO方法的薄层天线罩与罩内散射体计算公式，计算二者之间的电磁耦合作用。

设天线罩由多层各向同性的介质材料组成，罩内散射体为PEC，如图2所示。基于CIPO方法的薄层天线罩与罩内散射体电磁耦合计算步骤如下：

图2 天线罩与散射体的几何关系

1）计算在平面电磁波的激励下，电磁波穿过天线罩，在罩内表面激励起的电磁流。利用菲涅尔传输系数，罩内表面等效电磁流可表示为

式中：na为罩内壁Pa点处指向罩内的单位法矢量；，，，为天线罩的菲涅尔传输系数；，，和为天线罩的菲涅尔反射系数；，，和分别为入射电磁场的水平分量和垂直分量。而入射电场Ei，与透过天线罩，进入罩体的电场ET和被罩体反射的电场ER；入射磁场Hi，与透过天线罩，进入罩体的磁场HT和被罩体反射的磁场HR有如下关系：

式中：和分别为入射电场垂直和水平单位矢量；和分别为透射电场垂直和水平单位矢量；和分别为反射电场垂直和水平单位矢量。

2）计算由罩内壁电磁流激励起的散射体表面处磁场。

利用基尔霍夫近似（KA），散射体表面磁场可表示为

式中ra和rc分别为罩内表面Sa和散射体表面Sc上某点的坐标矢量。需要特别注意的是，KA仅对电大尺寸口径（该问题中的口径为包围散射体的天线罩）才成立，且随着入射角偏离垂直入射方向，KA的准确度随之降低［8］。

3）迭代计算散射体表面的等效电流。

由于散射体为PEC，所以只存在表面等效电流。其表面电流迭代式为

式中：ncν为散射体表面某点ν处的单位外法矢方向；（ra）和（ra）分别为N次迭代后，Sa上ra点处的等效电流和等效磁流。

由初始电磁流和散射体辐射到罩壁上的电磁场（r）和（ra）联合作用得到

式中和分别为（ra）和（ra）的水平分量和垂直分量。迭代初始值为

4）计算天线罩外表面的等效流。

由散射体表面上的等效电流辐射到天线罩内表面处的场，在罩外表面形成的电磁流可表示为

式中：

式中，（ra）和（ra）分别代表由入射场直接经天线罩反射的等效电流和等效磁流，而（ra）和（ra）分别为散射体表面电流辐射到天线罩内壁上的电场和磁场。

上文中，形如▽×∫M×▽′G的积分计算公式为

同样地，▽×∫J×▽′G积分的计算公式为

当采用曲边面片对目标表面进行剖分时，只需将上述积分采用形如式（9）的曲边面片数值积分替代。由于天线罩表面的曲率一般较大，特别适合采用CIPO方法取代基于三角面片的IPO方法，在保持传统IPO方法剖分要求较低优点的同时，又实现了曲面片对目标表面的精确拟合。

3 数值结果

研究如图3所示的薄层介质天线罩与罩内散射体之间的电磁耦合作用。电磁波频率为1GHz.天线罩材料参数为：εr＝15－j4.5，μr＝1，厚度为3 mm.罩内为由PEC圆盘和圆柱体组成的帽子目标，其主要散射分量为二次反射。图4为分别利用基于平面片的IPO、CIPO，以及商用软件FEKO®基 于 Poggio－Miller－Chang－Harrington－Wu （PMCHW）方程的MoM得到计算结果。其中，IPO方法按照λ／4剖分尺寸，将天线罩和帽子散射体分别划分为6 261和2 981个三角面片。而采用CIPO方法时，天线罩和散射体分别划分为2 981和1 560个形如图1所示的由六点控制的曲三角面片，即可得到不随剖分尺寸变化的计算结果。本文曲三角面片的剖分由商用软件Patran®完成。

图3 薄层介质天线罩与罩内PEC散射体之间几何关系其中，天线罩的几何尺寸为：1.2m×1.2m×1m；帽子目标的几何尺寸为：1m×1m×0.6m.

本算例中，IPO和CIPO的迭代终止门限按照式（14）定义，设δ＝0.03.图4（a）和（b）分别为水平和垂直极化CIPO与MoM计算结果的对比。总体上二者基本吻合，但随着俯仰角的增大，由于PO和KA准确度的降低，使得CIPO与MoM相比出现偏差。而与基于平面片IPO相比，CIPO可以用较少的面片拟合曲率较大的天线罩表面，因此，CIPO的积分点数明显少于IPO方法。此外，由式（10）计算得到的法向矢量更加准确，可去除IPO方法固有的面片噪声。计算91个不同角度下的RCS，IPO需要约4小时，而CIPO仅需约100分钟。

4 结 论

将基于平面片的IPO方法推广到曲面片上，发展了CIPO方法。给出了基于CIPO方法分析薄层天线罩与罩内散射体电磁耦合计算公式。与IPO方法相比，CIPO方法可以以相对较少的面片数量，对曲率较大目标表面进行精确的拟合，准确计算出各个采样点处的法矢方向，从而获得更高的计算精度和速度。通过具体算例，验证了CIPO方法的正确性和有效性。

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