怎样讲好“充要条件”这一概念

时富峰

在中学数学教学中，有一个很重要概念——充要条件，它是学生们学习中的一个难点，往往学过以后还不能真正理解、分清，不能正确判断出充分条件、必要条件和充要条件，给以后的学习带来许多不便.

在实际教学中，我谨以自己的理解和教学体会得出一点看法，供大家参考.

我们知道命题都由条件和结论两部分组成，而数学命题的条件和结论之间都有某种联系，这就是充分条件、必要条件和充要条件问题.

为了使学员们能在参阅书本，认真领会的基础上，轻松地、有规律地认识清楚，现就此变换一下说法，来分清充分条件、必要条件和充要条件的关系.

1背浞痔跫、必要条件和充要条件

用A，B分别表示命题的条件和结论.

（1）如果A成立，那么B成立（A→B），则A是B成立的充分条件；

（2）如果B成立，那么A成立（B→A），则A是B成立的必要条件；

（3）如果A→B且B→A，则A是B成立的充要条件.

注意 （1）充分有“足够”的意思，即要有B，有条件A就足够了；

（2）必要条件是结论成立“必不可少”的条件；

（3）A是B的充要条件，同样B也是A的充要条件.

以上这些是教材所给的，难就难在对“足够了”“必不可少的”这些词语的真正理解，使学生的学习存在不少障碍.

2比绾闻卸弦桓鎏跫是结论成立的什么条件

我们知道判断的方法，不外乎分三个步骤：

第一步：找出题中所说的条件、结论各是哪一部分，分别用A，B表示；

第二步：试一试能否有A→B成立或B→A成立；

第三步：根据定义判断出它们各是什么条件.

综合上述1，2，我们知道这些与教材是相吻合的，在分析这些知识时，我把判断方法总结为以下几个步骤，结果在教学中得到了事半功倍的效果，学员们都觉得易懂且易掌握.

①先搞清讨论的问题：什么（A）是什么（B）的什么条件.

分清以后，创造一个命题：条件A，结论B，并视为一个原命题；

②判断这个原命题及其逆命题的成立性；

③若原命题成立，则原命题的条件（A）是结论（B）成立的充分条件；

若其逆命题成立，则原命题的条件（A）是结论（B）成立的必要条件；

若原命题、逆命题均成立，则原命题的条件（A）是结论（B）成立的充要条件.

④若在判断原命题、逆命题的成立性有困难时，则注意转化引用等价命题判断其成立性来解决.

例 （1）“x=y”是“x2=y2”的什么条件？

（2）“x≠y”是“x2≠y2”的什么条件？

（3）“x≠y”是“x2=y2”的什么条件？

（4）“x=±y”是“x2=y2”的什么条件？

解 （1）组织一个原命题：如果“x=y”，那么“x2=y2”.

其逆命题：如果“x2=y2”，那么“x=y”.

显然易得：原命题成立，而逆命题不成立.

故“x=y”是“x2=y2”的充分条件，但不是必要条件，即充分但不必要条件.

（2）创造一个原命题：如果“x≠y”，那么“x2≠y2”.

其逆命题：如果“x2≠y2”，那么“x≠y”.

在判断其原命题、逆命题时比较困难，此时就要运用其等价命题来解决：

原命题的等价命题=其逆否命题：如果“x2=y2”，那么“x=y”.

其逆命题的等价命题=其否命题：如果“x=y”，那么“x2=y2”.

這样，我们很容易知道：其逆否命题不成立，即原命题不成立；其否命题成立，即其逆命题成立.

故“x≠y”是“x2≠y2”的不充分条件，但是必要条件，即必要但不充分条件.

（3）创造一个原命题：如果“x≠y”，那么“x2=y2”.

其逆命题：如果“x2=y2”，那么“x≠y”.

显然易得：原命题不一定成立，而逆命题也不一定成立.

故“x≠y”不一定是“x2=y2”的充分条件，也不一定是“x2=y2”的必要条件，即不是充分条件也不是必要条件.

（4）组织一个原命题：如果“x=±y”，那么“x2=y2”.

其逆命题：如果“x2=y2”，那么“x=±y”.

显然易得：原命题成立，而逆命题也成立.

故“x=±y”是“x2=y2”的充分条件，也是必要条件，即充分必要条件，亦即充要条件.

以上这一问题的提法，是我在近几年实际教学工作中总结出的一看法，在教学中学生们也对此有更深的理解，现提出来供同行们讨论，希望同行们能提出一点善意的宝贵意见，以供大家共同提高，谢谢了！