贯彻新课改理念 培养自主探究能力

刘天顺

【摘要】引导学生通过对命题“已知S璶是等比数列{a璶}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列”进行一系列的探究推广，得出命题：已知S璶是等比数列{a璶}的前n项和，且公比q≠1，则S璳,S3k,S2k成等差数列的充要条件是a璶，a璶+2k,a璶+k成等差数列(其中n,k∈N+).

【关键词】培养；学生；探究；意识；能力オ

2010年秋季，新课程改革在甘肃省全面实施，丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法是新课改追求的基本理念.新课改提倡学生独立思考、自主探索、动手实践、合作交流的学习方式，因此越来越受到教育工作者的普遍重视.

人教版2006版全日制普通高级中学教科书﹙必修﹚数学课本第一册（上）P142有一道这样的例题：

已知S璶是等比数列{a璶}的前n项和，S3,S9,S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列.

其证明如下:由S3,S9,S6成等差数列，得S3＋S6=2S9.

这里q≠1,事实上，如果q=1,则S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1.由a1≠0，得S3＋S6≠2S9，与题设矛盾，所以q≠1.

由S3＋S6=2S9，得

a1(1-q3)1-q＋a1(1-q6)1-q=2a1(1-q9)1-q.①

整理，得q3+q6=2q9.

由q≠0,得1+q3=2q6.②

因此，a1q+a1q4=2a1q7.③

即a2+a5=2a8.

所以a2，a8，a5成等差数列.

在引导学生完成上述证明的过程中由于逐渐意识到本题绝大多数证明步骤可逆，于是突然产生第一个疑问，并顺便将自己的想法告诉了学生：这个命题的逆命题成立吗？事实上，仔细观察不难发现问题的关键在于①，②两式之间，由②式推导①式时只需加条件q≠1即可.于是我们得到：

已知S璶是等比数列{a璶}的前n项和，且公比q≠1，则S3,S9,S6成等差数列的充要条件是a2，a8，a5成等差数列.

之后又注意到a2，a8，a5中序号的差异及由②到③的变形过程得到a1,a7,a4;a3,a9，a7;a4,a10,a7;a5,a11,a8…也成等差数列，于是又有了第二个疑问：a璶，a璶+6,a璶+3（n∈N+）是等差数列吗？其实只要在②式的两边同时乘以a璶，即可得到a璶+a璶+3=2a璶+6（n∈N+）.所以若S3,S9,S6成等差数列，则a璶，a璶+6,a璶+3（n∈N+）成等差数列.反之，q≠1时逆命题也成立.

此时有些学生急忙喊出条件S3,S9,S6成等差数列也可推广，其项数3，6，9也相差3，可推广为S璳,S璳+6,S璳+3成等差数列，于是师生又共同证明了：若S璳,S璳+6,S璳+3成等差数列，则a璶，a璶+6,a璶+3（n∈N+）成等差数列.q≠1时逆命题也成立.

之后有些同学又注意到上述情况其实都是特殊情形，其一般情形应是：若S璳,S3k,S2k成等差数列，则a璶，a璶+2k,a璶+k成等差数列.当q≠1时逆命题也成立，其中n,k∈N+.

综上所述，已知S璶是等比数列{a璶}的前n项和，且公比q≠1，则S璳,S3k,S2k成等差数列的充要条件是a璶，a璶+2k,a璶+k成等差数列(其中n,k∈N+).

这样，对该题的探究推广也就得到了圆满的解决.

臨下课了，我又想起了课本P144的习题3.5第7题：已知数列{a璶}是等比数列，S璶是其前n项和，a1,a7,a4成等差数列，求证：2S3，S6，S12-S6成等比数列.请同学们思考，该题能否推广，仿照此例课外进行探究.

我们发现引导学生通过这样的探究，使学生获得了自主探究的机会，经历了一个发现问题、提出问题、解决问题的学习过程.从学生的课堂表情看出，他们感受到了发现与成功的喜悦，学习的积极性得到了很好的发扬.课堂问题的解决方法并不是事先藏在教师头脑中的谜底，而是师生共同探究的思维成果.因此，如果我们在平时的教学中不过分拘泥于长期形成的“规范”，而是善于捕捉课本例题或习题中学生的“金子般闪光”的“意外”想法，抓住其合理的成分引导学生进行自主探究，相信我们的课堂教学一定是优质高效的！オ

【参考文献】

［1］刑永富.现代教育思想.北京：中央广播电视大学出版社，2001.

［2］张汝新.数学探究性教学的现状与改进建议.西安：中学数学教学参考，2005（8）.