防错纠错严谨作答为高考增分

复习至今，距高考还有不足两个月的时间，同学们的解题能力和水平已逐步定型，如何利用好最后这段时间让我们在高考中多得分呢？安排专门的时间进行解题的规范性训练是条有效的途径。事实上，每次考试包括每年的高考，都会有不少同学因为各种各样的解题不规范或是失误，造成大量非智力因素引起的失分。而这样的失分，我们在平时的解题中如果多加留心，及时加以纠正，有很多失分都是可以避免的。本文结合直线与圆这一内容，对一些常见的易错点、致错因素加以分析，希望同学们以此为例，在复习其他章节时能类似的针对自身实际将一些失分原因及时加以归纳总结,从而理顺解题逻辑，强化答题规范,避免在高考中出现“会而不对”、“对而不全”等现象。

【例1】已知圆C:x2+(y－2)2=4,过点P（2，5）作直线l.

(1) 若直线l与圆C:x2+(y－2)2=4相切，求直线l的方程；

(2) 若直线l与圆C:x2+(y－2)2=4相交于A,B两点，且AB≤23，求直线l斜率的取值范围.

错解（1） 设直线l的方程为：

y－5=k(x－2)，即kx－y－2k+5=0.

由题意，圆心C(0,2)到直线l的距离为

d=|－2－2k+5|k2+1=2,

∴k=512,

∴直线l的方程为:5x－12y+50=0.

(2) ∵AB=2r2－d2=24－d2≤23,

∴d≥1，即|－2－2k+5|k2+1≥1,

∴3k2－12k+8≥0,

∴k≤6－233或k≥6+233.

错因分析这位同学在(1)中设直线方程时没有注意考虑斜率是否存在，而设出了点斜式方程就默认了直线的斜率是存在的，从而忽视了直线与x轴垂直的情形，导致漏解。发生这种错误的根源在于对直线方程的五种基本形式的局限性的理解还不是很深刻；(2)中的错误主要是忽视了“直线l与圆C:x2+(y－2)2=4相交于A,B两点”这一隐含条件对结果的影响。

正确解法（1） 10若直线l⊥x轴,则其方程为:x=2,易知符合题意;

20若直线l不与x轴垂直,设直线l的方程为：y－5=k(x－2)，即kx－y－2k+5=0.

由题意，圆心C(0,2)到直线l的距离为

d=|－2－2k+5|k2+1=2,

∴k=512，

∴直线l的方程为:

5x－12y+50=0.

综上，所求直线l的方程为:

x=2或5x－12y+50=0.

(2) ∵AB=2r2－d2=24－d2≤23,

∴d≥1.

又直线l与圆C:x2+(y－2)2=4相交，∴d<2,

∴1≤d<2，即1≤|－2－2k+5|k2+1<2,

∴3k2－12k+8≥0且k>512,

∴512

防错机制本题中的错误可以从这两个方面去加以防范：（1） 巩固基础知识，强化对易错题型的印象，并找到错误的根源；（2） 对于解析几何题要养成作图、用图的习惯。如（1）中由圆外一点向圆引切线，必有两条，而（2）中由图形也很容易发现直线的斜率为负时也是明显不适合的。

【例2】如图,已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，其右准线l与x轴的交点为T，过椭圆的上顶点A作椭圆的右准线l的垂线，垂足为D，四边形AF1F2D为平行四边形.

(1) 求椭圆的离心率；

(2) 设线段F2D与椭圆交于点M，是否存在实数λ，使TA=λTM?若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由；

(3) 若B是直线l上一动点，且△AF2B外接圆面积的最小值是4π，求椭圆的方程.

错解（1） e=22(解法略).

（2） λ=3(解法略).

（3） 由（1）知b=c，故可设A(0,c)，F2(c,0)，B(2c,t)，

由题意，要使△AF2B外接圆的面积最小，则圆与右准线l相切，

∴B为切点,∴t=c.

∴圆心为AD的中点(c,c)，半径r=c.

∴(πr2)min=c2π=4π，则c2=4，故椭圆的方程为x28+y24=1．

错因分析这是典型的解题不够严谨导致的错误，这种错误普遍存在于我们同学的解题过程中。本题中由于点A、F2和准线l都是随着基本量a,b的变化而变化的，故不能直接认为圆与右准线l相切时△AF2B外接圆的面积最小，而要通过严谨的说理与推演过程,通过建立半径的目标函数式转化为代数问题求解。

正确解法（1） e=22(解法略).

（2） λ=3(解法略).

（3） 解法一：由题可知圆心N在直线y=x上，设圆心N的坐标为(n,n)，

因圆过准线上一点B，则圆与准线有公共点，

设圆心N到准线的距离为d，则NF2≥d，

即(n－c)2+n2≥|n－2c|，

解得：n≤－3c或n≥c，又r2=(n－c)2+n2=2n－c22+c22∈［c2,+∞).

由题可知，(πr2)min=c2π=4π，则c2=4，故椭圆的方程为x28+y24=1．

解法二：设A(0,c)，F2(c,0)，B(2c,t)，

设△AF2B外接圆的方程是：x2+y2+Dx+Ey+F=0，

则c2+cD+F=0,

c2+cE+F=0,

4c2+t2+2cD+tE+F=0，

解得D=E=－3c2+t2c+t.

所以圆心－D2,－E2，即3c2+t22(c+t),3c2+t22(c+t),

则r2=3c2+t22(c+t)－c2+3c2+t22(c+t)2.

令m=3c2+t22(c+t)=2c2c+t+c+t2－c∈(－∞,－3c］∪［c,+∞)，

r2=(n－c)2+n2=2n－c22+c22∈［c2,+∞).

由题可知，πr2min=c2π=4π，则c2=4，故椭圆的方程为x28+y24=1．

解法三：设A(0,c)，F2(c,0)，B(2c,t)，

设△AF2B外接圆的方程是：

x2+y2+Dx+Ey+F=0，

则c2+cD+F=0,

c2+cE+F=0,

4c2+t2+2cD+tE+F=0,

解得D=E=－c－Fc，

∴r2=14(D2+E2－4F)=12c2+F22c2.

由4c2+t2+2cD+tE+F=0,

得4c2+t2+(2c+t)－c－Fc+F=0.

∴4c2+t2－2c2－ct－2F－tFc+F=0,

∴2c2－ct+t2－(t+c)Fc=0,

∴F=c(t+c)+4c2t+c－3c,

∴F≥c2或F≤－7c2,

∴r2=12c2+F2c2≥c2,∴c2=4,

∴所求椭圆方程是x28+y24=1．

防错机制在解答题的答题过程中要写出必要的推理过程和文字叙述，避免出现一些“想当然”的不严谨做法。当然要使你在考试时解题更有逻辑、思维更严谨，这都离不开平时的解题积累，在做完一道题后多进行解题反思，及时的总结解题规律，提炼数学思想，定会使你的解题过程更有序、更完美。

牛刀小试

1. 直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点，若MN≥23，则k的取值范围是.

2. 在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B1、B2．设直线A1B1的倾斜角的正弦值为13，圆C与以线段OA2为直径的圆关于直线A1B1对称．

（1） 求椭圆E的离心率；

（2） 判断直线A1B1与圆C的位置关系，并说明理由；

（3） 若圆C的面积为π，求圆C的方程．

【参考答案】

1. －34≤k≤0.

2. （1） 设椭圆E的焦距为2c（c>0），

因为直线A1B1的倾斜角的正弦值为13，

所以ba2+b2=13，

于是a2=8b2，即a2=8(a2－c2)，

所以椭圆E的离心率e=c2a2=78=144.

（2） 由e=144可设a=4k(k>0)，c=14k，则b=2k，

于是A1B1的方程为：x－22y+4k=0，

故OA2的中点(2k,0)到A1B1的距离

d=|2k+4k|3=2k，

又以OA2为直径的圆的半径r=2k，即有d=r，所以直线A1B1与圆C相切．

（3） 由圆C的面积为π知圆的半径为1，从而k=12，

设OA2的中点(1,0)关于直线A1B1：x－22y+2=0的对称点为(m,n)，

则nm－1•24=－1,

m+12－22•n2+2=0．

解得m=13，n=423．

所以圆C的方程为x－132+y－4232=1．

(作者:陆王华,江苏省西亭高级中学)