立体几何专题强化

通性通法Tong Xing Tong Fa通性通法Tong Xing Tong Fa类型一空间中点线面位置关系的证明

【例1】如图，平面PAC⊥平面ABC，点E、F、O分别为线段PA、PB、AC的中点，点G是线段CO的中点，AB=BC=AC=4，PA=PC=22．

求证：（1） PA⊥平面EBO；

（2） FG∥平面EBO．

分析（1） 可利用“线线垂直”来证明“线面垂直”。先证明OE⊥PA，BO⊥PA；

（2） 证明直线与平面平行常用的方法有：一是判定定理（线线平行推出线面平行）；二是面面平行的性质定理（面面平行推出线面平行）。

证明由题意可知，△PAC为等腰直角三角形，△ABC为等边三角形．

（1） 因为O为边AC的中点，所以BO⊥AC，

因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，

BO计矫鍭BC，所以BO⊥平面PAC．

因为PA计矫鍼AC，所以BO⊥PA，

在等腰三角形PAC内，O，E为所在边的中点，所以OE⊥PA，

又BO∩OE=O，所以PA⊥平面EBO.

（2） 连接AF交BE于Q，连接QO．

因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点，

所以AOOG=2，且Q是△PAB的重心，

于是AQQF=2=AOOG，所以FG∥QO.

因为FGて矫鍱BO，QO计矫鍱BO，所以FG∥平面EBO．

点拨要证“线面平行”，也可以转化为证“面面平行”，通过取PE的中点H，利用平面FGH∥平面EBO证得。

类型二存在性问题

【例2】在长方体ABCDA1B1C1D1中，E,F分别是AD,DD1的中点，AB=BC=2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的几何体ABCDA1C1D1，且这个几何体的体积为403.

（1） 求A1A的长；

（2） 在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由.

分析(1) 求几何体ABCDA1C1D1的体积通过补形。

（2） ①存在性的问题，可通过分析——下结论——证明。

②若在线段BC1上存在点P，使A1P与C1D垂直。由三点D1,A1,P确定的平面交CC1于Q。由于C1D与A1D1垂直，只要C1D与D1Q垂直即可。

（3） 在直角梯形A1PQD1中可求线段A1P的长。

解（1） ∵VABCDA1C1D1=VABCDA1B1C1D1-VBA1B1C1

=2×2×AA1－13×12×2×2×AA1

=103AA1=403,∴AA1=4.

（2） 在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q，过Q作QP∥CB交BC1于点P，则A1P⊥C1D.

因为A1D1⊥平面CC1D1D,C1D计矫鍯C1D1D,∴C1D⊥A1D1，而QP∥CB,CB∥A1D1,∴QP∥A1D1，

又∵A1D1∩D1Q=D1,∴C1D⊥平面A1PQD1，

且A1P计矫鍭1PQD1,∴A1P⊥C1D.

∵△D1C1Q∽△C1CD,∴C1QCD=D1C1C1C,

∴C1Q=1,又∵PQ∥BC,∴PQ=14BC=12.

∵四边形A1PQD1为直角梯形，且高D1Q=5,∴A1P=2－122+5=292.

类型三立体几何中的最值问题

【例3】如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，E是PB上任意一点，△AEC面积的最小值是3．

（1） 求证：AC⊥DE；

（2） 求四棱锥PABCD的体积．

分析（1） 要证明线线垂直即证明线面垂直，即证AC⊥平面PDB；

（2） 求四棱锥的体积，关键是求出高PD的长，可以通过△AEC面积的最小值是3转化求出。

证明(1)连接BD，设AC与BD相交于点F．

因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．

又因为PD⊥平面ABCD，AC计矫鍭BCD，所以PD⊥AC．

而PD∩BD＝D，所以AC⊥平面PDB．

E为PB上任意一点，DE计矫鍼DB，

所以AC⊥DE．

（2） 连接EF．由（1），知AC⊥平面PDB，EF计矫鍼DB，所以AC⊥EF．

S△ACE＝12AC•EF，在△ACE面积最小时，EF最小，则EF⊥PB．

S△ACE＝3，12×6×EF＝3，解得EF＝1．

由△PDB∽△FEB，得PDEF=PBFB．

由于EF＝1，FB＝4，PB=PD2+64，

所以PB＝4PD，即PD2+64=4PD．

解得PD＝81515．

VPABCD＝13S鰽BCD•PD＝13×24×81515

＝641515．

牛刀小试

1. 如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2,AA1=2,E、E1分别是棱AD、AA1的中点.

（1） 设F是棱AB的中点,证明：直线EE1∥平面FCC1；

（2） 证明:平面D1AC⊥平面BB1C1C.

2. 已知正三角形PAD所在的平面与直角梯形ABCD垂直，AB⊥AD，AB∥CD，且AD=DC=2,AB=4.在线段PD上是否存在一点M，使得AM∥平面PBC.

3. 如图，斜三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1⊥BC1，AB⊥AC，AB=3，AC=2，侧棱与底面成60°角.

（1） 求证：C1点在平面ABC上的射影H在直线AB上；

（2） 求此三棱柱体积的最小值.

【参考答案】

1. （1） 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，取A1B1的中点F1，

连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4，CD=2,且AB∥CD，

所以CD

瘙 綊 A1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1∥A1D，

又因为E、E1分别是棱AD、AA1的中点，所以EE1∥A1D，

所以CF1∥EE1，又因为EE1て矫鍲CC1，CF1计矫鍲CC1，

所以直线EE1∥平面FCC1.

（2） 连接AC,在直棱柱中，CC1⊥平面ABCD,AC计矫鍭BCD,

所以CC1⊥AC,因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4，BC=2,

F是棱AB的中点,所以CF=CB=BF，△BCF为正三角形，

∠BCF=60°,△ACF为等腰三角形，

且∠ACF=30°，

所以AC⊥BC,又因为BC与CC1都在平面BB1C1C内且交于点C,

所以AC⊥平面BB1C1C,而AC计矫鍰1AC,

所以平面D1AC⊥平面BB1C1C.

2. 假设PD上存在点M，使得AM∥平面PBC.

在平面PDC内过点M作MN∥DC交PC于N,连接BN,

则面AMNB∩面PBC=NB

AM∥面PBC

AMっ鍼BC軦M∥NB，

又MN∥CD

CD∥AB軲N∥AB，

所以平面AMNB是平行四边形，

所以MN=AB.

这与MN

所以假设不成立，

即在线段PD上不存在一点M，使得AM∥平面PBC.

3. （1） 由棱柱性质，可知A1C1∥AC.

∵A1C1⊥BC1，∴AC⊥BC1，

又∵AC⊥AB，∴AC⊥平面ABC1，

又AC计矫鍭BC，∴平面ABC⊥平面ABC1，在平面ABC1内，过C1作C1H⊥AB于H，则C1H⊥平面ABC，故点C1在平面ABC上的射影H在直线AB上.

（2） 连接HC，由（1）知C1H⊥平面ABC，

∴∠C1CH就是侧棱CC1与底面所成的角，

∴∠C1CH=60°，C1H=CH•tan60°=3CH,

V棱柱=S△ABC•C1H=12AB×AC×C1H

=12×3×2×3CH=33CH.

∵CA⊥AB，∴CH≥AC=2，

∴棱柱体积最小值为33×2=63.

(作者：鲁锋，江苏省平潮高级中学)阶段测试Jie Duan Ce Shi阶段测试Jie Duan Ce Shi阶段测试(一)第1页