一个新的正项级数敛散性的判别法

顾先明，彭 浩

（唐山师范学院 数学与信息科学系，河北 唐山 063000）

一个新的正项级数敛散性的判别法

顾先明，彭 浩

（唐山师范学院 数学与信息科学系，河北 唐山 063000）

用级数

比较判别法；级数判别法的极限形式；Lagrange中值定理；对数判别法

as a comparing standard. This type of criterion is finer and more convenient than that frequently-used Raaba’s criterion.Key Words:new criterion; positive series; ponvergence; Raaba’s criterion

1 引言

目前较常用而又精细的正项级数判别法是拉阿比判别法，然而此判别法有时精确度仍然不够。本文以级数

做比较标准，得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的判别法—“对数判别法”。虽然文献[1-3]以对数级数

做比较标准得到一系列关于正项级数的敛散性判别法，并称为Bertrand判别法，但是笔者在文章中得到的一种有别于Bertrand判别法的新的判别法。首先先给出几个引理：

Lemma 1[1]设

和

为正项级数，且存在正数N，对一切n＞N，有

于是

（1）若级数

收敛，则

来说，当p＞1时是收敛的；当p≤1是发散的。

2 主要结果

我们得到的定理如下：

Theorem（Logarithm Test） 设正项级数

发散。

先考虑发散的情况。设数列{un}是正项数列，若n足够大时，由比较判别法有

发散。

为了应用方便，我们来寻求像拉阿比判别法那样的“极限形式”：

由拉格朗日中值定理知，对任意n，存在

发散。

收敛的情况可类似讨论：设数列{un}是正项数列，若存在p＞1使得n足够大时，有

由拉格朗日中值定理知，对任意n，存在

收敛。

此外，当s=1时此判别法失效。

[1] 吴良森,等.数学分析学习指导书(下册)[M].北京:高等教教育出版社,2006:26.

[2] 谢惠民,等.数学分析习题课讲义(下册)[M].北京:高等教教育出版社,2004.

[3] 菲赫金哥尔茨.徐献瑜,等译.微积分学教程(第二卷-第二分册)[M].北京:高等教育出版社,2007.

[4] 华东师范大学数学系.数学分析(下册)(3版)[M].北京:高等教教育出版社,2006:13-14.

（责任编辑、校对：赵光峰）

A New Criterion of the Convergence and Divergence of the Positive Series

GU Xian-ming, PENG Hao

(Department of Mathematics and Information Science, Tangshan Teachers College, Tangshan 063000, China)

In this paper, a new criterion was proposed to discriminate the convergence of positive series by using series

O173

A

1009-9115(2012)02-0031-03

唐山师范学院的大学生科技创新立项项目

2011-01-22

顾先明（1989-），男，安徽寿县人，本科学生，研究方向为函数论，计算数学。

做比较标准，得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的判别法，称为“对数判别法”。