引入约化质量 破解物理竞赛中的二体问题

张新华

(浙江省天台中学 浙江 台州 317200)

题目:巴耳末系中的Hα线是指氢原子从n=3能级跃迁到n=2能级时发出的谱线,它的波长为656.280 nm.氢的同位素氘也有类似的巴耳末系,实验测得其中的Dα谱线的波长为656.101 nm.试由此确定氢核与氘核的质量比.

1 解题思路

本文只考虑了无外力时的二体问题.如果不考虑原子核的运动，氢原子与氘原子的能级结构相同,Hα与Dα谱线的波长也应相同.实验结果表明两个波长有微小的差别,这说明必须考虑原子核的运动.原子核与电子之间的相互作用构成二体问题.如何将二体问题转化为一体问题?若取原子核为参考系,核外电子的运动如何处理?

2 二体约化质量

2.1 引入

【例1】质量分别为mA和mB的质点A和B,其间作用力和反作用力分别为FA和FB.无外力,试求A相对于B的动力学方程.

μ称为二体问题的约化质量.同样,也可导得B相对A的动力学方程为

FB=μaB′

2.2 物理意义

两个质点在相互作用下的运动，可约化为一个质点相对另一个质点的相对运动，仍可用牛顿第二定律求解,这时质点的质量需改用约化质量μ,即

3 问题的解决

若不考虑原子核的运动,则氢原子Hα谱线与氘原子的Dα谱线的波长相同,均为

将MH=1 836 m,λH=656.280 nm,λD=656.101 nm代入得

氘原子核的质量是氢原子核质量的2倍.值得指出的是,历史上正是通过Hα和Dα谱线波长的测量发现了氢的同位素——氘.

4 孪生题训练

【例2】有一个质量为电子质量210倍的τ子,它的带电荷量与电子一样.当它以速度8.0×105m/s飞过质子边上时,被质子俘获,形成τ氢原子.

(1)当这原子回到基态的跃迁中,会发出电磁辐射,试问其波长为多少?(答案:4.53×10-10m)

(2)要使处于基态的这种原子能被激发到较高能态,至少要多短波长的光加以照射?(答案:6.45×10-10m)

(3)试问处在基态时，τ子与质子的距离多大?(答案:2.81×10-13m)