对饮料杯重心位置最小值的探讨

郑 金

（凌源市职教中心 辽宁 朝阳 122500）

文献［1］利用质心计算公式导出重心位置坐标跟水面高度的关系式，然后求导数得出重心位置的最小值，其解题过程和结果都是正确的，但在求极值时两次对分式求导数，难度较大，而且所得结果不是最终答案，还需进一步化简.那么除了原解以外，是否还有其他方法呢？现对上述问题进行探讨.

原题：如图1所示，一个饮料杯装满水，杯的底部有一小孔，在水从小孔不断流出的过程中，杯连同杯中水的共同重心将

A.一直下降 B.一直上升

C.先升后降 D.先降后升

图2

图1

原解：建立空间直角坐标系如图2所示，假设饮料杯的质量为m，高度为h，杯底的半径为r，水的密度为ρ，当水面到杯底的高度为l时，水的质量为M＝ρπr2l由质心公式得整体重心的位置为

用求导数的方法得出的重心位置的最小值为

这个结果显得非常复杂，其实还可化简为

下面再给出两种简单解法.

解法1：质心坐标法

可知，整体重心的位置为

把M＝ρπr2h代入得

可利用判别式求极值，需把函数关系式变形为关于l的一元二次方程的形式，由（1）式得

因重心最低的位置只有一个，则对应的l值只有一个，即方程有唯一解，只有一个根（两个相同的根），其条件是判别式为零，即

化简得

考虑到重心高度z大于零，解方程（5）得

此时l有唯一值，对方程（3）由极值条件得

所以，当整体的重心最低时，水面与重心位置等高.

解法2：势能叠加法

对于变质量物体，若在其重心的左侧增加质量，则重心位置将向左移；若在其重心的右侧增加质量，则重心位置将向右移.同理，若在其重心的左侧减少质量，则重心位置将向右移；若在其重心的右侧减少质量，则重心位置将向左移.

当满杯水时，重心在几何中心，位于水面以下.当开始放水时，是在整体重心上方减少质量，则重心将下移，同时水面也下降，但由于杯的重心固定不动，则整体重心下降的速度比水面下降的速度慢，当水面下降到与整体重心重合时，若继续放水，则是在整体重心下方减少质量，那么整体重心将上升，由此可见，整体重心的位置是先降后升，因此整体重心的高度存在最小值，即当水面与整体重心的位置重合时，整体重心的位置最低.

以杯底为重力势能的零势能面，当整体的重心最低时，重心位于水面上，设此时杯中水的高度为l，则水的质量为

其重力势能为

杯的重力势能为

整体重心到杯底的高度也为l，则整体的重力势能为

根据整体的重力势能等于各部分的重力势能之和有

代入并整理得

解得

所以整体重心位置的最小值即水面的高度为

图3

整理得

由此可解得整体重心位置到杯底距离的最小值.

1 宫长莹，石安山.探究饮料杯重心的变化规律.物理通报，2011（3）：70～71