例谈柯西不等式在不等式证明中的应用

　　摘要：本文着重探讨柯西不等式在不等式证明中的应用。
　　关键词：柯西不等式； 证明；应用
　　
　　不等式证明是不等式教学中的一个难点，也是数学教学的一个重点。除了常规的比较法、分析法、综合法、配方法、数学归纳法等，使用一些重要的不等式也是我们证明不等式的重要手段。本文通过例题介绍Cauchy不等式在不等式证明中的应用。
　　Cauchy不等式：已知x1、x2……xn与y1、y2……yn都是实数，且y1、y2……yn≠0，则有（x12、x22+……+xn2)(y12、y22+……+yn2)≥（x1y1+x2y2+……+xnyn）2，并且在==……时，上式取等号。
　　例1求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
　　简证：由Cauchy不等式得（a2+b2+c2）（b2+c2+a2）≥(ab+bc+ca)2，即（a2+b2+c2）2≥(ab+bc+ca)2，∴（a2+b2+c2）≥ab+bc+ca.
　　 例2求证：++≥a+b+c，其中a+b+c∈R+.
　　简证：∵a+b+c∈R+，由Cauchy不等式得[()2]+[()2]+[()2][（）2+（）2+（）2]≥(a+b+c)2，即++(a+b+c)≥(a+b+c)2，又a+b+c∈R+
　　 ， ∴++≥a+b+c.
　　 例3求y=asinx+bcosx的极值。
　　 简解：由Cauchy不等式得y2=（asinx+bcosx）2≤（a2+b2）（sin2x+cos2x）=a2+b2，
　　∴y2=a2+b2 ，即-≤y≤，
　　当=，即 tanx=，x=arctan+kπ
　　（k∈Z）时，y取得极值。
　　 例4 求证：≤（n∈N+）.
　　 简证：由Cauchy不等式得（++…+）2≤（1+2+…n）（1+1+…+1）=n，两边开方整理即得。
　　 例5已知sin2α+sin2β+sin2