新课标《导数及其应用》教学七个易错点集结

　　 摘 要：学习普通高中课程标准实验教科书《导数及其应用》这一章知识时，学生往往受到旧知识的负迁移，再加上缺乏非一次、二次曲线的感性认识，在学习中存在一些认识上的误区，常常不能解对问题，今从直线与曲线相切时公共点个数问题；求过已知点作与已知曲线相切的切线方程问题；函数的极值判定问题；函数的单调性问题等七个易错点加以集结。
　　 关键词：公共点个数；切线条数；极值点；单调性
　　
　　 导数是中学数学的一个重要组成部分，导数是解决不等式和方程的根的个数等问题有不可替代的有效方法。但学生在学习导数时，由于对导数基本概念、理论的理解存在着误区，应用时常常出错，下面从以下七个易错点加以集结，便于读者提高认识。
　　 一、直线与曲线相切时公共点个数问题
　　 在没有学习导数新知识之前，我们已经学过直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线等二次曲线相切问题，并掌握了以下知识：
　　 1.直线l与圆C相切?圳直线l与圆C有且只有一个公共点。
　　 2.直线l与椭圆C相切?圳直线l与椭圆C有且只有一个公共点。
　　 3.直线l与双曲线C相切?圯直线l与双曲线C有且只有一个公共点。
　　 4.直线l与抛物线C相切?圯直线l与抛物线C有且只有一个公共点。
　　 注意结论3、4，不能用“?圳”符号，当直线l与双曲线C的渐近线平行时，直线l与双曲线C只有一个公共点，此时直线l与双曲线不说相切，只能说相交。同样，当直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时，直线l与抛物线C相交，不相切，这能从图形中直观感受到。
　　 从代数方面考虑，直线与圆相切，可由直线方程与圆（或椭圆或双曲线或抛物线）方程联立方程组，消去y（或x），得到关于x（或y）的方程，如lx2+mx+n=0，则有l≠0m2-4ln＞0的约束条件。注意：此方法具有局限性，不能推广到更一般的。
　　 由于受到上述知识的影响，学生误认为直线l与曲线C相切，此直线l与曲线C有且只有一个公共点。学习导数知识后，学生对直线l与曲线C在某处相切后，直线l与曲线C还有其他公共点很是惊讶与不解。
　　 通过逼近方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线，适用于各种曲线，具有一般性，以前学的切线，仅是一些特殊情形。直线l与曲线C相切于点P，只反映在点P附近直线l与曲线C的状况，直线l与曲线C相切，不能得出直线l与曲线C的公共点唯一。
　　 如图①：直线l与曲线C在点M处相切，在点N处相交，直线 与曲线C有两个公共点。
　　 如图②：x轴（直线l）与曲线f（x）=x2不是一般意义的相交，而是在原点处相切。直线l与曲线f（x）的公共点唯一。