蔗糖溶液中超声空化泡运动数值的模拟

黄永春 周 莹 杨 锋 任仙娥 何 仁

（广西工学院生物与化学工程系，广西 柳州 545006）

蔗糖溶液中超声空化泡运动数值的模拟

黄永春 周 莹 杨 锋 任仙娥 何 仁

（广西工学院生物与化学工程系，广西 柳州 545006）

为了解超声场作用下，蔗糖溶液中空化泡动力学的影响因素及影响规律，运用Rayleigh－Plesset方程模拟空化泡运动过程。结果表明：空化泡的振幅随着超声波频率增大而减小；随着超声波声强的增大而增大，空化变易；随着环境压力增大而减小，空化变难；随着空化泡初始半径增大而减小，空化强度变弱；随蔗糖溶液温度增大而增大，空化强度加大；随蔗糖溶液浓度增大而减小，空化强度减小。研究还发现，双频超声作用的空化效果比单频超声作用时强。

蔗糖溶液；超声；空化泡；动力学；模拟

超声波是频率为20～10MHz的弹性机械振动波。超声技术应用于化学、化工领域形成了声化学，声化学是研究“在声波作用下加速化学反应或者启通新的化学反应通道”的一门新的边缘学科［1］。声化学反应的主动力来自声空化，声空化把声场能量集中起来，然后伴随空化泡崩溃而在极小的空间内将其释放出来，使之在正常温度与压力的液体环境中产生异乎寻常的高温（高于5 000K）和高压（高于5×107Pa），形成所谓的“热点”，从而提高化学反应速度和化工过程，提高化学产率［2］。

制糖过程是典型的化工过程，超声波在制糖工业的应用研究，如超声波强化蔗汁的澄清［3－5］、超声波防除制糖设备的积垢［6，7］、超声强化蔗糖结晶［8－11］等已有报导，部分研究成果还得到了应用。但目前这类研究主要属于工艺性的研究。本试验对超声场作用下蔗糖溶液中空化泡运动进行数值模拟，探讨蔗糖溶液中超声空化的主要影响因素及其影响规律，以期为进一步认识制糖过程超声效应作用机理以及优化超声条件提供参考。

1 运动方程及其求解

1.1 超声空化泡运动基本方程

超声空化泡运动模型采用Rayleigh－Plesset方程，其表达式如下［12］：

式中：

R——空化泡的半径，m；

R0——空化泡的初始半径，m；

P0——作用在空化泡壁上的流体静压力，Pa；

Pv——空化泡内压力，Pa；

PA——超声波作用在空化泡壁上的声压振幅，Pa；ρL——液体的密度，kg/m3；

ω——超声波的角频度，Hz；

t——时间，s；

σ——液体表面张力系数，N/m；

μ——液体运动粘滞系数，Pa·s；

k——气体多变指数。

从方程（1）可以看到，空化泡的半径R随时间t的变化受到R0、P0、Pv、PA、ρL、ω、σ、μ和k的影响，只要知道上述参量后，即可求出R随t的变化关系。为了便于比较各对数对空化泡运动的影响，研究R/R0随t/T的变化，T为超声波作用的周期。

1.2 运动方程的求解

方程（1）为二阶非线性常微分方程，难以直接得到它的解析解，可采用数值迭代法求其数值解，采用4～5阶的龙格－库塔算法［13］进行求解，初始条件为t＝0，R＝R0，（dR/dt）＝0。

2 结果与讨论

2.1 超声频率对空化泡运动的影响

蔗糖溶液浓度c取50°Bx，温度T取70℃，环境压力P0取1.013×105Pa，表面张力系数近似取σ≈7×10－2N/m，μ＝2.95×10－3Pa·s，ρL＝1.21×103kg/m3，气泡内压Pv＝2.897×104Pa［14，15］，取R0＝5μm，k＝1.33，应用声强I为0.5W/cm2，频率f为20，50，120，300kHz的正弦变化的超声波分别作用，采用方程（1）对蔗糖溶液中空化泡的运动进行数值模拟，得到空化泡半径随时间的变化关系见图1。

图1 蔗糖溶液中超声频率对空化泡运动过程的影响Figure 1 Effect of ultrasonic frequency on the kinetic process of cavitation bubble in sugar solution

由图1可知，在其它条件不变时，空化泡的振幅随着超声波频率的增大而减小，并且空化泡达到最大半径Rmax的时间也变长了。当频率为20kHz时，空化泡半径在1.6个周期左右达到最大值，随后便开始崩溃，而频率为50，120，300kHz时在模拟所考察时间范围内发生周期性的振动。这是因为频率增大，声波膨胀和压缩时间均变短，空化泡来不及增长到太大，同时也来不及压缩至崩溃。另一方面，频率越高，超声波在液体中的能量衰减越快，要获得同样的超声化学效应，所需要付出的能量也越大。因此，为了提高超声波在蔗糖溶液中的空化效应，在其它条件保持相同时，应该采用低频超声波。

2.2 超声声强对空化泡运动的影响

蔗糖溶液模拟体系的c、T、P0、σ、μ、ρL、Pv、R0、k取值和2.1相同，应用频率f为20kHz，声强I为0.2，0.5，1，10，100W/cm2的正弦变化的超声波分别作用，模拟得到蔗糖溶液中空化泡半径随时间的变化关系见图2。

图2 蔗糖溶液中超声声强对空化泡运动过程的影响Figure 2 Effect of ultrasonic intensity on the kinetic process of cavitation bubble in sugar solution

由图2可知，在其它条件不变时，空化泡的振幅随着超声波声强的增大而增大，并且空化泡的振动周期也变长。当声强为0.2W/cm2，蔗糖溶液中形成的是稳态空化泡，并且表现出非线性振荡的特征；当声强达到0.5W/cm2以上时，蔗糖溶液中形成的是瞬态空化泡。当声强为0.5W/cm2时，空化泡振荡3个周期后即崩溃；当声强为1，10W/cm2时，空化泡振荡1个周期后即崩溃，而声强为100W/cm2时，空化泡便又振荡2个周期后才崩溃。说明稳态空化过程可在较低的声强下发生，而瞬态空化只能在较大声强作用下才可发生；而且，声强增大，空化泡运动将更加剧烈。然而，当声强增大到一定程度时（本模拟条件下为100W/cm2），由于空化泡在声波膨胀相内可能增大较大，在第1个周期内来不及发生崩溃，从而延缓了其崩溃时间。因此，为了提高瞬态空化效应，在其它条件保持相同时，存在一个声强的下限和上限。

2.3 环境压力对空化泡运动的影响

蔗糖溶液模拟体系的c、T、σ、μ、ρL、Pv、R0、k取值和2.1相同，环境压力P0分别取5.066×104，1.013×105，1.520×105，2.027×105Pa，应用超声波频率f为20kHz，声强I为0.5W/cm2的正弦变化的超声波作用，模拟得到蔗糖溶液中空化泡半径随时间的变化关系见图3。

由图3可知，其它条件不变时，当环境压力增大，空化运动过程中振幅将趋于变小，空化变得困难，且在较低压力条件下，空化过程为瞬态空化，较高压力下则为稳态空化。对于本研究，当环境压力不大于1个标准大气压时，应用超声波频率f为20kHz，声强I为0.5W/cm2的正弦变化的超声波作用于浓度为50°Bx、温度为70℃蔗糖溶液体系，将发生瞬态空化，而当环境压力达到1.5个标准大气压以上时，则发生的是稳态空化过程。但同时也可以看到，1个标准大气压的环境压力下空化泡最大的Rmax大于0.5个标准大气压环境压力下的空化泡Rmax，但其崩溃的时间也相应延长了。因此，在应用过程中，要综合考滤环境压力。

图3 蔗糖溶液中环境压力对空化泡运动过程的影响Figure 3 Effect of ambient pressure on the kinetic process of cavitation bubble in sugar solution

2.4 气泡初始半径对空化泡运动的影响

蔗糖溶液模拟体系的c、T、P0、σ、μ、ρL、Pv、k取值和2.1相同，分别取气泡初始半径分别为1，5，10，50μm，应用超声波频率f为20kHz，声强I为0.5W/cm2的正弦变化的超声波作用，模拟得到蔗糖溶液中空化泡半径随时间的变化关系见图4。

图4 蔗糖溶液中空化泡初始半径对空化泡运动过程的影响Figure 4 Effect of original radius on the kinetic process of cavitation bubble in sugar solution

由图4可知，其它条件不变时，空化运动过程中Rmax/R0随空化泡初始半径增大而减小，并且其崩溃时间也趋于变长，空化剧烈程度变弱。对于本试验模拟体系，当R0达到50 μm时，空化泡逐渐变大，在考察的6个周期内不发生崩溃。

2.5 溶液温度对空化泡运动的影响

蔗糖溶液模拟体系的表面张力系数变化不大，且其对空化泡运动的影响很小［16］，在本试验的模拟条件范围内，蔗糖溶液的表面张力可近似取σ≈7×10－2N/m，μ、ρL、Pv随溶液温度T的变化对应的参数值见表1（数据引自文献［14］、［15］，其中部分数据根据文献［14］、［15］的数据拟合得到），c、P0、k取值和2.1相同，分别取溶液温度40，50，60，70℃，应用超声波频率f为20kHz，声强I为0.5W/cm2的正弦变化的超声波作用，模拟得到蔗糖溶液中空化泡半径随时间的变化关系见图5。

表1 蔗糖溶液中不同温度对应的μ、ρL、Pv值Table 1 The Values of parameter ofμ、ρL、Pv in sugar solution varies with temperature of solution

由表1可知，温度的改变，主要影响黏度以及气泡内压力的大小。① 温度增大，溶液粘度变小，空泡膨胀所需克服的液体分子间力变小，空化容易发生，空化泡的振幅增大；② 温度增大，空化泡内压力增大，空化泡在声波膨胀相内的振幅逐渐增大，但在声波压缩相内，作用于空化泡的总压力减小，因而空化泡在声波压缩相内的振幅变小。温度对空化泡运动过程的影响，是上述因素综合作用的结果。从模拟的结果看，要强化蔗糖溶液的空化效应，在模拟所选的温度范围内，70℃效果最好。

图5 蔗糖溶液中温度对空化泡运动过程的影响Figure 5 Effect of temperature on the kinetic process of cavitation bubble in sugar solution

由图5可知，其它条件不变时，在相同的运动时刻，空化泡运动过程中振幅随蔗糖溶液温度增大而增大，空化剧烈程度加大，而且温度增大，空化泡从产生至崩溃所经历的时间趋于变短。

2.6 溶液浓度对空化泡运动的影响

蔗糖溶液的μ、ρL、Pv随溶液浓度c的变化对应的参数值见表2（数据引自文献［14］、［15］，其中部分数据根据文献［14］、［15］的数据拟合得到），T、σ、P0、k取值和2.1相同，分别取溶液浓度为20，40，60，75°Bx，应用超声波频率f为20kHz，声强I为0.5W/cm2的正弦变化的超声波作用，模拟得到蔗糖溶液中空化泡半径随时间的变化关系见图6。

表2 不同浓度蔗糖溶液对应的μ、ρL、Pv值Table 2 The Values of parameter ofμ、ρL、Pvin sugar solution varies with concentration of solution

由表2可知，浓度的改变，主要影响溶液黏度、溶液密度以及气泡内压力的改变。① 浓度增大，溶液黏度变大，空泡膨胀所需克服的液体分子间力变大，空化发生趋于困难，空化泡的振幅减小；② 浓度增大，空化泡内压力减小，空化泡在声波膨胀相内的振幅逐渐减小，但在声波压缩相内，作用于空化泡的总压力增大，因而空化在声波压缩相内的振幅变大；此外，浓度增大，空化也变得趋于困难，但密度对空化泡运动的影响较小，在本试验中可以忽略。温度对空化泡运动过程的影响，是上述因素综合作用的结果。总体而言，蔗糖溶液越小，空化剧烈程度越剧烈。

图6 蔗糖溶液浓度对空化泡运动过程的影响Figure 6 Effect of concentration on the kinetic process of cavitation bubble in sugar solution

由图6可知，其它条件不变时，空化运动过程中振幅随蔗糖溶液浓度增大而减小，空化剧烈程度减小；而且浓度增大到某一数值，空化泡从瞬态空化转变为稳态空化。

2.7 双频作用对空化泡运动的影响

蔗糖溶液模拟体系的c、T、P0、σ、μ、ρL、Pv、R0、k取值和2.1相同，应用频率f为20kHz，声强I为1W/cm2的单频超声波，以及双频组合为20kHz＋50kHz，20kHz＋500kHz，20kHz＋1 000kHz，每个单频声强I均为0.5W/cm2的正弦变化的超声波分别作用，模拟得到蔗糖溶液中空化泡半径随时间的变化关系见图7。

图7 蔗糖溶液中双频超声波对空化泡运动过程的影响Figure 7 Effect of dual－frequeney ultrasonic on the kinetic process of cavitation bubble in sugar solution

由图7可知，在其它条件不变，在保持总声强一定时（1W/cm2），双频超声空化泡的振幅较单频超声的振幅大，但随着双频超声中较高频率的超声的频率增大而减小；此外，双频超声作用产生的空化泡达到最大半径Rmax的时间较单频超声长。当频率为20kHz时，空化泡半径在0.6个周期左右达到最大值，随后在0.8个周期左右崩溃，而频率为20kHz＋50kHz，20kHz＋500kHz，20kHz＋1 000kHz时，空化泡半径在1.6个周期左右达到最大值，在1.9个周期左右崩溃。为了提高超声波在蔗糖溶液中的空化效应，在声强一定时和其它条件保持不变时，可考虑采用双频超声，提高空化效果。

3 结论

通过采用Rayleigh－Plesset方程对蔗糖溶液中超声空化泡的运动动力学进行模拟，从理论上获得了蔗糖溶液中超声空化泡的运动影响因素影响的大小及其影响规律。结果表明：① 空化泡的振幅随着超声波频率的增大而减小；② 空化泡的振幅随着超声波声强的增大而增大，并且空化泡的振动周期变长；③ 环境压力增大，空化运动过程中振幅将趋于变小，空化变得困难；④ 空化运动过程中Rmax/R0随空化泡初始半径增大而减小，并且其崩溃时间也趋于变长，空化剧烈程度变弱；⑤空化运动过程中振幅随蔗糖溶液温度增大而增大，空化剧烈程度加大；⑥ 空化运动过程中振幅随蔗糖溶液浓度增大而减小，空化剧烈程度减小；⑦ 双频超声作用的空化效果比单频超声作用时强。

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Numerical simulation on the dynamics for the ultrasonic cavitation bubble in sugar solution

HUANG Yon－chun ZHOU Ying YANG Feng RENXian－eHE Ren

（Department of Biological and Chemical Engineering，Guangxi University of Technology，Liuzhou，Guangxi545006，China）

In order to understand the effects of each parameter on the ultrasonic cavitation bubble dynamics in sugar solution，the motion of the bubble was simulated by using the Rayleigh－Plesset equation.It was shown that with the increasing of ultrasonic frequency the amplitude of cavitation bubble decreased.Meanwhile with the increasing of ultrasonic intensity the amplitude of cavitation bubble increased，and the ultrasonic cavitation became easier.It was founded that with lower ambient pressure，smaller initial radius of bubble，and higher sugar concentration the amplitude of cavitation bubble increased，and the cavitation intensity became weaken；with the increasing of temperature the cavitation intensity became stronger.The investigation also indieatesd that the cavitation intensity due to dual－frequeney ultrasonic was stronger than the cavitation intensity due to single－frequeney ultrasonic.

sugar solution；ultrasound；cavitation bubble；dynamics；simulation

10.3969 /j.issn.1003－5788.2011.06.005

广西科学基金项目资助（编号：桂科自0832063）

黄永春（1974－），男，广西工学院教授，博士。E－mail：huangyc＠yeah.net

2011－08－01