关于2个互质整数平方和的研究及其应用

李永，顾志华

（1.河北大学 数学与计算机学院，河北 保定 071002；2.河北农业大学 理学院，河北 保定 071001）

关于2个互质整数平方和的研究及其应用

李永1，顾志华2

（1.河北大学 数学与计算机学院，河北 保定 071002；2.河北农业大学 理学院，河北 保定 071001）

利用无穷下降法和同余式理论，证明了2个互质的整数平方和的任意因数必然也可以表示成为2个整数的平方和，并利用这个结论推论出了Fermat平方定理.

整除；互质；同余式；Fermat平方定理

MSC 2010：11Y11

数论是一门古老，然而又是常新的学科，是数学最基础学科的一个重要分支.数论问题解决过程所应用的方法和思想，是所有数学方法和思想的一个重要理论源泉.

无穷下降法是数论中一个重要的解题方法，首先是由法国著名数学家Pierre发明，并使用这种方法证明了边长为整数的直角三角形其面积不可能是一个整数的平方，它在解决许多数论问题中都起到了重要作用.法国数学家、物理学家Lagrange使用无穷下降法证明了四平方定理，瑞士数学家和物理学家Leonhard也曾使用无穷下降法对Fermat大定理做出分析.

1 整数的整除性及同余

定义1m，n是整数，如果n是m的整数倍，则称m整除n，表示为m│n.

定义2对于整数m，n及r如果r│m，r│n则称r是m，n的公约数.m，n的最大公约数表示为（m，n）.如果（m，n）＝1则称m和n是互质的.

定理1 （m，n）＝1的充分必要条件是存在整数x，y使得xm＋yn＝1.

定理2 如果整数m，n，r满足（m，r）＝1，并且r│mn，则r│n.

定理3 如果（a，b）＝1，则（a2，b2）＝1.

以上3个定理的证明参看文献［3］.

定义3a，b，m是整数，如果m│（a-b）则称a，b对模m同余，表示为a≡b（modm）.同余式显然具有如下性质

性质1a≡a（modm）（反身性）.

性质2 如果a≡b（modm），则b≡a（modm）（对称性）.

性质3a≡b（modm），b≡c（modm），则a≡c（modm）（传递性）.

性质4 如果a≡b（modm），a1≡b1（modm）.则a＋a1≡b＋b1（modm）.

性质5 如果a≡b（modm），c为任意整数，则ac≡bc（modm）.

2 互质整数平方和的性质

定理4 （a，b）＝1，并且p是a2＋b2的一个质因数，那么p也可以表示为2个整数的平方和.

证明a2＋b2是一个质数，则定理成立.

如果a2＋b2不是质数，任意取它的一个质因数p，并且假设kp＝a2＋b2（k＞1），必然存在整数a1，b1，使得0≤a1＜p，0≤b1＜p，a≡a1（modp），b≡b1（modp），并且a1≠0，b1≠0.否则，如果a1＝0，那么a是p的倍数，b2＝kp-a2也是p的倍数，由于p是质数，所以b也是p的倍数，与（a，b）＝1矛盾，所以0＜a1＜p，0＜b1＜p.

如果k2＝1，则定理成立，否则如果k2＞1，分2种情况讨论.

1）如果k2是偶数，则

定理5 如果（a，b）＝1，并且m是a2＋b2的一个因数，那么m也可以表示为2个整数的平方和.

证明如果m1＝ （a12＋b12），m2＝ （a22＋b22），则m1m2＝ （a1a2＋b1b2）2＋（a1b2-b1a2）2，所以m1和m2都可以表示为2个整数平方和，那么m1m2也可以表示为2个整数平方和.根据定理4知道a2＋b2的任何一个质因数必然可以表示为2个整数的平方和，那么它的任何一个因数m必然是a2＋b2的一些质因数的乘积（整数的唯一分解性质），所以m也可以表示为2个整数的平方和.定理5证毕.

3 Fermat平方定理的证明

定理6 设p是一个大于2的质数，k是一个小于p的整数，那么对于任意的整数i，j，1≤i＜j≤（p-1），ik与jk除以p的余数必然不等.

证明如果ik与jk除以p的余数相等，则ik≡jk（modp），jk-ik≡0（modp），p│（j-i）k.而（p，k）＝1，（p，j-i）＝1，与定理2结论显然矛盾，所以ik与jk除以p的余数必然不等.定理6证毕.

定理7 设p是一个大于3的质数，对于整数k，如果2≤k≤（p-2），必然存在整数i满足：i≠k，2≤i≤ （p-2），并且ik≡1（modp）.

证明首先k2≡1（modp）不能成立，否则由于（p-1）2≡1（modp），所以（p-1）2-k2≡0（modp）.即（p-1-k）（p-1＋k）≡0（modp），得p│（p-1-k）（p-1＋k）.显然（p，p-1-k）＝1，（p，p-1＋k）＝1与定理2结论矛盾，所以k2≡1（modp）不能成立.

由定理6的结论知：k，2k，3k，…，（p-1）k除以p的余数必然都不相等，因而必然存在一个i满足：1≤i≤（p-1），ik≡1（modp）.i＝1或i＝p-1，ik≡1（modp）显然不成立，所以必然存在整数i满足：i≠k，2≤i≤ （p-2），并且ik≡1（modp）.定理7证毕.

定理8p是一个质数的充分必要条件是：（p-1）！≡p-1（modp）.

证明必要性：

P是一个质数，当p＝2，p＝3时必要性显然成立.

对于p＞3，根据定理7的结论可以知（p-2）！≡1（modp），所以（p-1）！≡p-1（modp）.

充分性：

P为一个和数时，设p＝ab，其中1＜a＜p，1＜b＜p.当a≠b时，（p-1）！必然是ab的整数倍，所以（p-1）！≡0（modp）充分性成立.当a＝b时，则p＝a2，分2种情况讨论：

1）a＝2时，则p＝4，（p-1）！＝3！＝6≡2（mod 4）说明充分性成立.

2）a＞2时，（p-1）＝a2-1＞2a，（p-1）！＝1×2×…×a×（a＋1）×…×2a×…×（p-1），所以（p-1）！必然是a2＝p的整数倍，所以（p-1）！≡0（modp）充分性成立.

综上可知此定理的充分必要性都成立.定理8证毕.

定理9 （Fermat平方定理）对于正整数x，如果4x＋1是质数，那么4x＋1必然可以表示为2个互质整数的平方和.

证明设p＝4x＋1是质数，根据同余式的性质可得

故p是［（2x）！］2＋1的一个因数，根据定理5知道p也必然可以表示为2个整数的平方和.根据定理4的证明过程知道，这2个整数必然是互质的.定理9证毕.

［1］杨倩丽.关于Euler数的一个同余式［J］.西北大学学报：自然科学版，2006，36（3）：351-352.

［2］LI Hailong.On the general Kloosterman sum and its sixth power mean［J］.JP Journal of Algebra Number Theory and Applications，2006（1）：25-27.

［3］华罗庚.数论导引［M］.北京：科学出版社，1979.

［4］潘承洞，潘承彪.初等数论［M］.北京：北京大学出版社，2008.

［5］ALBERT H B.数论妙趣［M］.上海：上海出版社，2000.

［6］李文林.数学史教程［M］.北京：高等教育出版社，2000.

About Two Co-prime Integer Square Research and Its Application

LI Yong1，GU Zhi-hua2
（1.College of Mathematics and Computer Science，Hebei University，Baoding 071002，China；2.College of Science，Agriculture University of Hebei，Baoding 071001，China）

By using infinite descent method and congruent theory，this paper proves that the arbitrary factor of a integer which is a sum of two co-prime integer squares will be necessarily expressed a sum of two co-prime integer squares.This conclusion can deduced the Fermat square theorem.

division；co-prime；congruent；Fermat square theorem

O 156.1

A

1000-1565（2011）06-0586-04

2011-06-20

河北省自然科学基金资助项目（F2011201063）；保定市社科基金资助项目（20110363）

李永（1970-），男，河北安平人，河北大学讲师，主要从事数论方向研究.

E-mail：li-yi-fei＠sina.com

王兰英）