基于互质阵列的信号波达方向估计算法

刘佳宁　司伟建

摘要：      互质阵列具有灵活的天线摆放形式， 相比于均匀阵列， 有更大的阵列孔径， 可以获得更高的自由度从而减少硬件资源成本， 因此受到广泛的关注。 本文针对基于互质阵列的空间平滑MUSIC算法（互质SS-MUSIC算法）估计精度低、 计算量较大的问题， 提出两种基于Toeplitz矩阵重构的互质阵列DOA估计算法。 两种算法均利用扩展互质阵列构造虚拟阵列， 然后进行协方差矩阵重构， 重构后的矩阵是Toeplitz矩阵， 对其进行划分， 对划分后的矩阵进行特征值分解， 求出信号子空间和噪声子空间， 从而得到信号的入射角度。 仿真实验结果表明， 两种算法均能够实现信号的欠定DOA估计， 与互质SS-MUSIC算法相比， 两种算法在低信噪比-5 dB时的测向误差分别减少1.1°和0.5°， 具有更高的估计精度； 在相同条件下， 运行时间分别减少45.9%和69.1%， 具有更低的计算复杂度。

关键词：     阵列信号处理； DOA估计； 互质阵列； Toeplitz矩阵； 矩阵重构中图分类号：      TJ760; V243.4

文献标识码：    A文章编号：     1673-5048（2023）02-0131-06

DOI： 10.12132/ISSN.1673-5048.2022.0109

0引言

波达方向（Direction of Arrival， DOA）估计在阵列信号处理领域占据重要的地位， 在雷达、 声呐等众多方面有着广阔的应用前景， 因此受到广泛关注和研究。 为了尽可能提升DOA估计性能， 众多算法被提出并且應用于实际工程中， 如多重信号分类算法（MUSIC）［1］和旋转不变子空间算法（ESPRIT）［2］等。 但这些算法能够估计的信号源数目都不能超过利用的阵元数目， 因此， 想要估计多个信号源， 就要引入更多的天线， 这使得实际工程中硬件成本大大增加。 而稀疏阵列的出现可以很好地解决这一问题， 互质阵列是稀疏阵列的一种摆放形式， 相比于均匀阵列， 互质阵列能够增大阵列孔径［3］， 获得更高的自由度， 这意味着在阵元数相同的条件下， 利用互质阵列进行DOA估计比利用均匀阵列进行DOA估计可获得更高的性能指标， 还能有效节省硬件资源， 降低成本。 因此， 互质阵列估计凭借着这些优势吸引了广大学者的关注， 一系列与之相关的研究成果被提出。 文献［4］首次提出互质阵列的概念， 互质阵列具有灵活的摆放形式， 阵元间的间距可以大于入射信号的半波长， 获得更大的阵列孔径。 文献［5］提出基于互质阵列的多重信号分类子空间算法（互质SS-MUSIC算法）， 该算法利用虚拟阵列构成的协方差矩阵， 对其进行空间平滑， 通过谱峰搜索获得信号的入射角度。 文献［6］引入互质ESPRIT算法， 利用信号子空间的旋转不变性， 对信号进行DOA估计， 避免了谱峰搜索等步骤， 减少了计算量。 文献［7］提出基于协方差矩阵重构的互质DOA估计算法， 开辟了利用互质阵列进行DOA估计的新思路。 文献［8］ 通过凸优化， 对协方差矩阵进行矩阵重构。 文献［9］根据矩阵填充理论， 对协方差矩阵进行扩展， 利用其Toeplitz性质构造一个低秩重构矩阵， 可以解决阵元利用率不高的问题。 为了进一步降低计算复杂度， 文献［10］提出传播算子算法（Propagator Method， PM）， 该算法不需要对协方差矩阵进行特征值分解， 主要通过矩阵的线性运算来求得信号的信号子空间和噪声子空间， 计算量明显小于MUSIC和ESPRIT等子空间分解类算法， 因此可将该算法运用到互质阵列估计中。

本文为了提升估计精度并降低计算复杂度， 在文献［7， 9-10］的基础上， 提出两种基于Toeplitz矩阵重构的互质阵列DOA估计算法。 一是基于Toeplitz矩阵重构的旋转不变子空间（Estimating Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques，  ESPRIT）互质阵列DOA估计算法（简称互质Toeplitz-ESPRIT算法）。 该算法利用虚拟阵列对协方差矩阵进行重构， 该矩阵是一个Toeplitz矩阵， 与传统ESPRIT算法不同， 本算法先对该矩阵进行特征值分解获得信号子空间， 对信号子空间进行分块， 利用旋转不变因子计算出信号的入射角度。 二是基于Toeplitz矩阵重构的传播算子（Propagator Method， PM）互质阵列DOA估计算法（简称互质Toeplitz-PM算法）， 同样是利用虚拟阵列构造的Toeplitz矩阵， 以信号源数目作为分组， 将该矩阵进行划分， 引入传播算子获得信号的入射角度。 仿真表明： 相比于互质SS-MUSIC算法， 在低信噪比和小快拍时， 互质Toeplitz-ESPRIT算法估计性能更好； 互质Toeplitz-PM算法的计算复杂度更低。

1互质阵列结构

2基于Toeplitz矩阵重构的DOA估计算法

2.1互质Toeplitz-ESPRIT算法

2.2互质Toeplitz-PM算法

2.3两种算法的区别与联系

两种算法都是针对互质SS-MUSIC算法估计精度低、 计算量大的问题提出的。 互质SS-MUSIC算法在谱峰搜索过程中， 通过获取空间范围内空间谱的极大值作为目标信号的入射角度， 在恶劣环境下会搜索出很多极大值， 对DOA估计结果产生影响， 并且谱峰搜索会花费很多时间， 增大了计算复杂度。 而本文所提两种算法不需要谱峰搜索， 是对接收信号模型的协方差矩阵进行操作， 计算得出入射角度， 只有一种估计结果， 因此估计精度更高， 计算复杂度更低。

两种算法的区别是互质Toeplitz-ESPRIT算法更侧重于解决估计精度低的问题， 在低信噪比和小快拍数时也有良好的估计性能， 而互质Toeplitz-PM算法更侧重于解决计算量大的问题， 用线性运算代替了特征值分解， 从而降低计算复杂度。

3仿真实验

4结论

本文提出两种基于Toeplitz矩阵重构的互质DOA估计算法， 利用扩展互质阵列构造虚拟阵列， 构造Toeplitz矩阵， 对其进行不同处理， 实现对目标信号的DOA估计。 仿真实验结果表明， 基于Toeplitz矩阵重构的互质ESPRIT算法在低信噪比和小快拍数时依旧能够保持良好的估计精度； 基于Toeplitz矩阵重构的互质PM算法计算复杂度更低， 解决了互质SS-MUSIC算法估计精度低、 计算量大的问题。 在实际应用中， 可以根据不同的性能需求选择不同的测向算法， 这两种算法都可以推广应用至其他形式的互质阵列中。

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Direction of Arrival Estimation Algorithm Based on Coprime Array

Liu Jianing Si Weijian

（1. College of Information and Communication Engineering， Harbin Engineering University， Harbin 150001， China;

2. Key Laboratory of Advanced Marine Communication and Information Technology， Ministry of Industry and

Information Technology， Harbin Engineering University， Harbin 150001， China）

Abstract： The coprime array has attracted extensive attention because of its flexible antenna placement form and larger array aperture compared with the uniform array， which can obtain higher degrees of freedom and reduce the cost of hardware resources. Aiming at the weak accuracy and large amount of computation of  SS-MUSIC algorithm， this paper proposes two DOA estimation algorithms with coprime array based on Toeplitz matrix reconstruction. Both algorithms use the virtual array formed by extended coprime array and reconstruct the covariance matrix. The reconstructed matrix is Toeplitz matrix， which is decomposed by eigenvalues to obtain the signal subspace and noise subspace， so as to obtain the incident angle of the signal. The simulation results show that the two algorithms can achieve underdetermined DOA estimation. Compared with the coprime SS-MUSIC algorithm， the direction finding errors of the two algorithms are reduced by 1.1 ° and 0.5 ° respectively at  low signal-to-noise ratio of -5 dB， and have higher estimation accuracy， the running time is reduced by 45.9% and 69.1% respectively in the same situations， with lower computational complexity.

Key words：  array signal processing; DOA estimation; coprime array; Toeplitz matrix; matrix reconstruction