交通拥堵现象的进化博弈分析

罗群，黎玉琴

（1.肇庆学院 数学与信息科学学院，广东 肇庆 526061；2.肇庆学院 政法学院，广东 肇庆 526061）

交通拥堵现象的进化博弈分析

罗群1，黎玉琴2

（1.肇庆学院 数学与信息科学学院，广东 肇庆 526061；2.肇庆学院 政法学院，广东 肇庆 526061）

利用生物进化的复制动力学，建立了一个公共交通与私家车博弈模型，得到选择公共交通的博弈方的比例随时间的变化率的复制动态方程，并用此方程从满意度的角度来讨论、分析这种普遍存在的交通拥堵现象.

进化博弈；复制动态方程；满意度；均衡点；渐近稳定均衡

MSC 2010：91A22；91A80

随着我国经济发展水平的不断提升，交通需求的高速发展，作为推动经济发展动力系统中的大动脉的交通问题，在城市化进程不断推进的过程中集中表现为交通拥堵，尤其是在大中城市，交通拥堵已经演变成为人们出行时最头痛的问题之一，最糟糕的时候甚至堵塞多达三、五个小时仍难以移动半步.于是，如何解决这类问题自然成为人们不断思考并力图有效解决的重要课题.有学者从国外大城市的经验角度将解决思路概括为：优化交通设施设计，建设发达的公共交通；限制公车使用；控制私人小汽车增加速度；提高环保节能型交通工具使用率以及减少出租车空载率［1］.有学者从最新国际研究进展和案例梳理中强调指出，利用交通拥挤收费为一个关键要素的综合交通政策，发挥公共性、稀缺性交通设施的最大经济效益，让私人化的机动出行所获取的收益和其所带来的全部社会成本相适应，将是解决城市交通问题、实现有关子目标的关键［2］.也有学者进一步明确主张强化政府作为，提出政府应该从市场经济的角度经营管理城市道路这一公共产品，并采用相应的经济手段使其部分商品化，在征收高峰期拥堵费用的基础上，加征车辆牌照费、汽车燃油税、差别停车费等税费，使每个汽车使用者都承担相应的公共物品的动态成本，确保出行者按照效用最大化原则来选择出行方式、出行时间和出行费用，从而缓解汽车拥有量激增和道路资源稀缺之间的供求矛盾［3］.还有学者从经济上量化交通拥堵所产生的成本，提出了拥堵的临界速度，分析了拥堵的各子成本，建立时间、能耗、尾气3大子项成本的计算模型［4］.

无论是立足于从解决城市交通的硬件设施、制度建设和政府行为等导致交通拥堵的客观方面进行研究，还是从增加出行成本的角度来治理拥堵，最终的目的都是让出行者得到最大的满意.也就是说，在导致交通拥堵现象的众多因素中，公共交通的相对滞后和私家车的迅速发展所导致的相关人群在选择交通方式的满意度，是其中不可忽略的主观因素，它在一定程度上会直接或间接地影响到实际的交通运行状态.进化博弈论在经济、管理等领域有广泛应用，如文献［5-6］利用进化博弈分析了客运问题、新农村建设中农民合作问题等.

因此，本文利用生物进化的复制动态机制，建立公共交通与私家车博弈模型，得到选择公共交通（或策略1）的博弈方的比例随时间的变化率的复制动态方程，并用此方程，从满意度的角度来讨论、分析现实社会生活中大量存在的交通拥堵现象.

1 复制动态方程

尽管博弈分析研究的是人们在特定问题中的行为和决策，而且人们在具体问题中也可以是完全理性的，但是这仍然不能改变理性局限的普遍性.在一个具体的博弈中，若博弈方不是完全理性（完全理性是指理性意识、分析推理能力、识别判断能力、记忆能力和准确行为能力等多方面的完美性要求）的，称为有限理性博弈方，由有限理性博弈方参与的博弈称为有限理性博弈.在有限理性博弈中，具有真正稳定性和较强预测能力的均衡，必须是通过博弈方模仿、学习的调整过程来实现的，具有能经受错误偏离的干扰，在受到少量干扰后仍能“恢复”的均衡，这种均衡称为渐近稳定均衡（或进化稳定策略）ESS.通常把研究有限理性博弈的理论称为“进化博弈论”.

有限理性博弈分析的关键是确定博弈方学习和策略调整的模式（或机制），当博弈方的理性程度较低或涉及到集体决策时（也可以说是学习速度很慢的成员组成大群体随机配对的反复博弈），可用生物进化的“复制动态”机制模拟博弈方的学习和调整过程.

一般地，考虑以下形式的n维欧氏空间Rn中的微分方程

其中x是Rn中的一点，F（x）是Rn中的一个向量.对方程（3），若F的各分量有连续偏导数，则方程（3）的解存在且唯一［8］.设φ（t；x0）是流，即

其中x0是初始值.

定义1［8］若x＊满足F（x＊）＝0，则称x＊是微分方程（3）的不动点或均衡点或稳定状态，且对所有t都有φ（t；x＊）＝x＊.

定义2［8］若对任意ε＞0，存在δ＞0，使当 ‖x0-x＊‖ ＜δ时，对任意t≥0有 ‖φ（t；x0）-x＊‖ ＜ε，则称不动点x＊是李雅普诺夫稳定的或L-稳定的.

定义3［8］若存在δ1＞0使对所有满足 ‖x0-x＊‖ ＜δ1的x0有 ‖φ（t；x0）-x＊‖ →0（t→ ∞），则称不动点x＊是弱渐近稳定的；若不动点x＊既是L-稳定的又是弱渐近稳定的，则称该不动点是渐近稳定的或吸引的.

由文献［8］知，对一维的微分方程

其中g（x）与g′（x）是连续，且x＊是微分方程（4）的不动点或者均衡点（即g（x＊）＝0）时，若g′（x＊）＜0，则均衡x＊是吸引的，即是渐近稳定的，也就是能经受错误偏离的干扰，在受到少量干扰后仍能“恢复”的均衡；若g′（x＊）＞0，则均衡（或不动点）x＊是排斥的.

2 公共交通与私家车博弈模型

在此博弈中，假设每位博弈方（出行者）出行时可选择2类交通工具：公共交通（指轨道交通，大（中）巴公共汽车等有固定线路或有首末班时间限制的交通工具）和私家车（家用（单位）小车，出租车，摩托车，自行车等不受固定线路和固定时间限制的交通工具）.由于（长距离的）步行者人数相对较少，可将此类人群归入选择私家车人群中或忽略不计.因此博弈双方的策略集合均为｛公共交通（策略1），私家车（策略2）｝，用表1的2×2对称博弈表示支付（赢得）矩阵，其中p，q，r，s表示各博弈方的满意度.

表1 公共交通与私家车博弈Tab.1 Game of mass transit and private car

3 Nash均衡与进化稳定分析

点∈Sn为具有支付矩阵G的对策的Nash均衡，如果

对所有x∈Sn成立.

点∈Sn为具有支付矩阵G的对策的进化稳定状态，如果

对的某个邻域中所有x≠成立.

由文献［7］的定理知，若点∈Sn为具有支付矩阵G的对策的Nash均衡，则为方程（5）的驻点；若为L-稳定的，则为Nash均衡；若∈Sn为具有支付矩阵G的对策的进化稳定状态，则必为方程（5）的渐近稳定驻点.

在大中城市中，每天出行的人数多达几十万乃至上百万人次，由于博弈方（出行者）的数量足够大，可以理解出行问题是一个大群体的成员间随机配对反复进行该博弈，因此可用复制动态模型来分析这种现象.大群体成员随机配对博弈暗指所有博弈方都是相似的，也可以认为进行的博弈是博弈位置无差异的2人对称博弈.

假设在出行人群中，选择策略1（即公共交通）出行的博弈方E1的比例为x∈［0，1］，选择策略2（即私家车）出行的博弈方E2比例为1-x.则选择2种策略的博弈方的期望得益和群体平均期望得益分别为

由于每天选择不同交通工具的人数是变化的，所以x与时间t有关.由式（5），选择策略1（即公共交通）的博弈方E1的比例x随时间的变化率dx／dt的复制动态方程是

将式（6），（7），（8）代入式（9）得下面的复制动态方程

根据p，q，r，s与x的函数关系，利用式（10）可以确定本博弈的渐近稳定均衡.

4 算例分析

在现实城市生活中，选择同一交通工具的满意度随出行的时段、出行的地点的不同是有一定差异的，在下面的算例中忽略这种差异，认为选择同一交通工具（策略）的博弈方的满意度是相同的，因此p＝q，r＝s.若选择公共交通的人数增多，这类博弈方E1的满意度降低，而选择私家车的博弈方E2的满意度则增加.因此，p是x的减函数，r是x的增函数.p，r与x的函数关系，是要通过长时间的调查统计、曲线拟合等大量工作才能得到一种近似函数关系.因此，本文就一种较简单的线性函数的情形进行讨论.

由文献［8，10］中相位图的方法，得到复制动态方程（12）的相位图如图1所示，从图1中可看出x3＝1／2是该博弈的渐近稳定均衡ESS，而x1＝0和x2＝1则不是本博弈的渐近稳定均衡.

图1 公共交通与私家车博弈复制动态方程相位Fig.1 Phase diagram of replicator dynamic equation in the game of mass transit and private car

从此结果看出：当选择公共交通与私家车的人数相当时，博弈双方的满意度一样；当选择公共交通的人数比例大于1／2时，这类人群的满意度低于选择私家车的人群的满意度；当选择公共交通的人数比例小于1／2时，这类人群的满意度高于选择私家车的人群满意度.比如某人今天选择私家车出行时堵塞严重，而公共交通则顺畅，此人明天就可能会选择公共交通，如果明天选择公共交通后发现公共交通比私家车堵塞严重，后天就可能选择私家车，这就是博弈方模仿、学习的调整过程，通过长期的模仿、学习的调整过程，会“恢复”到比例为1／2的状态.这种模仿、学习而导致的选择过程，会促使选择公共交通和私家车的相关群体的比例达到大致的平衡，在这种平衡状态下，博弈各方的满意度达到最大，若这种平衡被打破，博弈方的满意度就会降低.这种分析结果与现实比较接近.因此，要解决交通拥堵问题，不仅是让出行的人们大都选择公共交通，而是相关部门就从百姓的角度思考，找出解决实际问题的办法.本文的分析不是绝对的，因为满意度p，q，r，s的函数表达式不同，结果会不同.另外，人们因经济、面子、低碳、环保、偏好等因素也会导致不完全考虑满意度.

5 结 论

利用复制动态方程建立的公共交通与私家车博弈模型得出：博弈各方究竟选择何种交通工具，一般取决于这种交通工具给博弈各方带来的满意度，并且这种选择也不是一成不变的，而是博弈各方在长期模仿、学习及调整过程中，逐渐形成一个选择公共交通与私家车的人数之间的适当比例（ESS），最终这个比例会使博弈各方的满意度达到最大化.

［1］王超，林清华.国际大城市交通拥堵社会问题处理经验借鉴——基于社会学的视野［J］.当代经济管理，2011，33（1）：50-54.

［2］周江评.交通拥挤收费——最新国际研究进展和案例［J］.城市规划，2010，34（11）：47-54.

［3］肖海燕，王先甲.政府参与模式下出行者出行方式选择行为的演化博弈分析［J］.管理工程学报，2010（2）：115-118.

［4］吴奇兵，陈峰，黄垚等.北京市机动车拥堵成本测算与分析［J］.交通运输系统工程与信息，2011，11（1）：168-172.

［5］余孝军.客运问题的进化博弈分析［J］.经济数学，2011，28（1）：1-4.

［6］房保信，田双亮，王志刚.新农村基础设施建设中农民合作意愿的进化博弈分析［J］.西北民族大学学报：自然科学版，2010，31（3）：14-19.

［7］HOFBAUER J，SIGMUND K.进化对策与种群动力学［M］.陆征一，罗勇译.成都：四川科学技术出版社，2002.

［8］CLARK ROBINSON，动力系统导论［M］.韩茂安，邢业明，毕平译.北京：机械工业出版社，2007.

［9］俞建.博弈论与非线性分析［M］.北京：科学出版社，2008.

［10］谢识予.经济博弈论［M］.2版.上海：复旦大学出版社，2002.

Evolutionary Game Analysis of Traffic Jam

LUO Qun1，LI Yu-qin2
（1.School of Mathematics and Information Sciences，Zhaoqing University，Zhaoqing 526061，China；2.School of Politics and Law，Zhaoqing University，Zhaoqing 526061，China）

By means of the replicator dynamics of biological evaluation，the paper constructs a game model of mass transit and private cars，obtains a replicator dynamic equation which describs the change rate of the proportion of players for the chose of mass transit with time，and analyzes the commonly existed traffic jam by the satisfied degree of the equation.

evolutionary game；replicator dynamics equation；satisfied degree；equilibrium point；evolutionary stable strategy

O 225

A

1000-1565（2011）06-0573-05

2011-07-02

广东省自然科学基金资助项目（9251064101000015）；广东省肇庆市科技项目 （2010F003）

罗群（1963-），女，重庆巴县人，肇庆学院教授，博士，主要从事非线性泛函分析、博弈论及其应用研究.

E-mail：liluoqun＠yahoo.com.cn