反幂等阵线性组合的反幂等性

燕列雅 王 艳

(西安建筑科技大学理学院,陕西西安 710055)

反幂等阵线性组合的反幂等性

燕列雅 王 艳

(西安建筑科技大学理学院,陕西西安 710055)

讨论了反幂等阵线性组合的幂等性,指出可对角化矩阵可表示为反幂等阵的线性组合,并由此得到了由非奇异矩阵构造两两正交且可交换的反幂等阵的一种方法.

反幂等阵;线性组合;对角化;相似变换

关于两个或三个幂等矩阵线性组合的幂等性,文献[1-3]作了较为详细的讨论,本文讨论反幂等矩阵线性组合的反幂等性问题,并得出了矩阵可以表示为反幂等阵的线性组合的结论,且由此结论的证明过程得到了由n阶非奇异矩阵构造可交换且两两正交的反幂等阵的一种方法,这些反幂等阵的线性组合即为一n阶可对角化矩阵.

定义1 对于A,B∈Mn,若AB=BA,称A,B可交换.

引理1[4]对于A,B∈Mn,若A,B均可对角化,且AB=BA,则A,B可同时对角化.

引理2 设A∈A IMn,R(A)=r,则存在可逆矩阵P,使A=Pdiag(-Ir,O)P-1.

证设λ是A的特征值,x是对应于λ的特征向量,由Ax=λx及A2=-A知λ只能取-1和0,且-1和0分别为A的r重和n-r重特征值.

由A2=-A可得(A+I)A=O或A(A+I)=O,从而A的r个线性无关的列向量(记为P1)为对应于-1的r个线性无关的特征向量;A+I的n-r个线性无关的列向量(记为P2)为对应于0的n-r个线性无关的特征向量.于是令P=(P1,P2),则A=Pdiag(-Ir,O)P-1.

注 引理2的证明给我们提供了构造反幂等阵相似于对角阵的相似变换矩阵的方法.

证 (A1+A2)2=++A1A2+A2A1=-(A1+A2)+A1A2+A2A1.

(i)⇒(ii).若(A1+A2)2=-(A1+A2),则A1A2+A2A1=O,在A1A2+A2A1=O两边分别左乘和右乘以A1,并结合A1的反幂等性,得-A1A2+A1A2A1=O,A1A2A1-A2A1=O,于是A1A2=A1A2A1 =A2A1.再由A1A2+A2A1=O得A1A2=A2A1=O.

(ii)⇒(i)显然.

(ii)⇒(iii).由引理2,存在可逆阵P1,使A1=P1diag(-Ir,O)P.

又由引理2,存在可逆阵P2,使

取P=P1diag(Ir1,P2),就有A1=Pdiag(-Ir1,O)P-1,A2=Pdiag(O,-Ir2,O)P-1,于是

容易得到A1A2=A2A1=O.

证由定理1和归纳法易证.

定理2 设Ai∈A IMn,R(Ai)=ri＞0,i=1,2,则下列各款等价：

(i)A1-A2∈A IMn;

(ii)A1A2=A2A1=-A2;

(iii)存在可逆阵P,A1-A2=Pdiag(-Ir1-r2,O)P-1.

证(A1-A2)2=A+A-A1A2-A2A1=-A1-A2-A1A2-A2A1

(i)⇒(ii).若(A1-A2)2=-(A1-A2),则A1A2+A2A1=-2A2,在A1A2+A2A1=-2A2两边分别左乘和右乘以A1,并结合A1的反幂等性,得A1A2A1=-A1A2,A1A2A1=-A2A1.再由A1A2+A2A1=-2A2,则有A1A2=A2A1=-A2.

(ii)⇒(i).显然.

(ii)⇒(iii).由A1A2=-A2知R(A2)≤R(A1),即r2≤r1.由引理2,存在可逆阵P1,使

又由引理2,存在可逆阵P2,使A11=P2diag(-Ir2,O)P.取P=P1diag(P2,In-r2),则有

由于r1≥r2,所以A1-A2=Pdiag(-Ir1-r2,O)P-1.

(iii)⇒(ii).由A1-A2=Pdiag(-Ir1-r2,O)P-1,可取

则显然有A1A2=A2A1=-A2.

证必要性.设A可对角化,则存在可逆阵P,使A=Pdiag(λ′1Ir1,λ′2Ir2,…,λ′sIrs)P-1,其中r1+r2+…+rs=n,λ′1,λ′2,…,λ′s是A的互不相同的特征值.令λi=-λ′i,则

[1] Oskar Mariabaksalary,Julio Benitez.Idempotency of linear combinations of three idempotent matrices,two of which are commuting[J].Linear Algebra Appl.,2007,424：320-337.

[2] Baksalary J K,Baksalary O M.Idempotency of linear combinations of two idempotent matrices[J].Linear Algebra Appl.,2000,321：3-7.

[3] Baksalary O M.Idempotency of linear combinations of three idempotent matrices two of which are disjont[J], Linear Algebra Appl.,2004,388：67-78.

[4] Horn R A,Johnson R.Matrix Analysis[M].Cambridge.U K：Cambridge University Press.1985.

Anti-idempotency of Linear Combinations of Anti-idempotent Matrices

YA N L ie-ya, WA N G Yan
(School of Science,Xi’an University of Arch.&Tech.,Xi’an 710055,China)

Anti-idempotency of linear combinations of anti-idempotent matrices are investigated.A result that diagonalization matrices are expressed to linear combinations of anti-idempotent matrices is given.Also,we obtain a pathway of constructive anti-idempotent matrices of pairwise commutaive and orthogonal.

anti-idempotent matrices;linear combinations;similarity transformation;diagonalization

O151.21

A

1672-1454(2011)05-0108-04

2008-11-17;[修改日期]2009-02-03

国家自然科学基金资助项目(10971160);陕西省教育厅专项基金