高阶常系数线性差分方程的解的研究

2011-11-20劳智

湖南科技学院学报 2011年8期

关键词：特征方程广州大学海洋大学

劳智

（广州大学，广东广州 510000；广东海洋大学寸金学院，广东湛江 524033）

高阶常系数线性差分方程的解的研究

劳智

（广州大学，广东广州 510000；广东海洋大学寸金学院，广东湛江 524033）

在文献[5]中，论文作者将常系数齐次线性差分方程改写为矩阵与向量乘积形式的递推关系，并运用相似矩阵的理论给出了常系数齐次线性差分方程通解的解析形式。在论文中，则通过引进算子把常系数齐次线性差分方程化为一些式子之积，再利用算子相关的引理，简便地得到k阶常系数齐次线性差分方程k个线性无关的解，从而得到通解。

差分方程；常系数差分方程；算子

引进算子：

在解常差分方程时常用到以下算子的有关引理：

引理1(E −λiI)(E −λjI)yn=(E −λjI)(E−λiI)yn

证明： ( E −iI)(E −jI)yn

即算子满足交换律。

其中 )(nPα为n的次多项式。

证明：不妨设

由引理2可知：算子 ( E − I)每作用一次，多项式 Pα( n )降低一次。故：

定理1 如果 )2()1(,yy 是k阶常系数齐次线性差分方程

的两个解，那么

也是方程（1）的解。

定理2 如果 y(1),y(2),⋅⋅⋅,y(k)是方程（1）的k个线性无关的特解，那么

就是方程（1）的通解。

定理3 方程（1）的特征方程为

根据特征根的情况，可以写出对应解的各项见表3-1：

特征方程(2)的根方程(1)通解中对应的项（1）单实根给出一项 C λn（2） j重实根给出j项 ( C1+C2n+⋅⋅⋅+C jn αj−1)λn（3）一对单共轭复根1,2=±i给出两项 ( Ccosnθ +Csinnθ)r n12（4）一对j重共轭复根1,2=±i给出 2 j 项⎡(C+Cn+⋅⋅⋅+Cnαj−1)cosnθ+⎤⎢ 12j ⎥ r n⎢⎣(Cj+1+Cj+2n+⋅⋅⋅+C2j nαj−1)sinnθ⎥⎦

则（1）的通解为yn=C1y(1)+C2y(2)+⋅⋅⋅+Cky(k)，其中C1,C2,⋅⋅⋅,Ck是任意实数，且通解yn中的每一项都由特征方程的一个根所对应，其对应情况如表3-1。

证明：由定理3可知，要求方程（1）的通解，就要找出它k个线性无关的解。