简述抛物线中一组优美的新结论

●张乃贵 张 俊 (徐州师范大学2009级教育硕士 江苏徐州 221116)

简述抛物线中一组优美的新结论

●张乃贵 张 俊 (徐州师范大学2009级教育硕士 江苏徐州 221116)

最近在研究抛物线时，笔者发现了一组简洁、优美的新结论，现将之整理成文．为叙述方便，本文约定:文中所涉及的所有直线的斜率都存在，并用kAB表示直线AB的斜率．

命题1已知四边形ABCD内接于抛物线y2=2px(p＞0)，对边AB，CD与x轴分别相交于点E，F，2条对角线AC，BD与x轴都相交于点M，则

为了简洁解决问题，先证明一个引理:

引理过抛物线y2=2px的对称轴上一定点(a，0)的直线与此抛物线相交于2个点，则这2个点的纵坐标之积为定值－2pa．

证明直线的方程可设为x=my+a，将直线方程与抛物线方程联立x=my+a

消去x得

由韦达定理得，y1·y2=－2pa为定值．

图1

推论2抛物线y2=2px的内接四边形的2组对边、2条对角线所在的3对直线中，只要有1对直线的倾斜角互为补角，则另2对直线的倾斜角也互为补角．

证明由推论1知，直线P1A，P2B的倾斜角互为补角等价于kP1A+kP2B=0，即

在推论3中，如果点P1，P2重合，那么可得推论4．

推论5抛物线C的方程为y2=2px(p＞0)，P1Q1，P2Q2是抛物线C上垂直于x轴的任意2条弦，分别过P1，P2作倾斜角互补的2条直线交抛物线C于另外2个点M，N，则直线MN∥Q1Q2．

当点P1，P2重合于点P时，点 Q1，Q2重合于点Q，直线Q1Q2成为点Q处的切线，便可得到

推论6经过抛物线y2=2px(p＞0)任意一条与对称轴垂直的弦PQ的一个端点作关于直线PQ对称的2条直线交抛物线于另外2个点M，N，则直线MN平行于弦PQ的另一端点处的切线．