带有死区模型的严格反馈非线性系统的自适应神经网络控制

梅建东，李红春，徐丽仙

(1.扬州职业大学，江苏扬州225002;2.江海职业技术学院，江苏扬州225101)

近年来，带死区的不确定非线性系统的自适应控制已成为控制理论研究的热点之一，并取得了一些研究结果[1－8]。其主要思想是利用模糊系统、神经网络等逼近系统的不确定性，基于李亚普诺夫方法确定模糊系统或神经网络中可调参数的自适应律，结合鲁棒控制、滑模控制及后推设计方法来保证控制系统的稳定性。本文针对一类带有死区模型且具有摄动的严格反馈非线性系统，基于后推设计方法，运用神经网络的逼近能力，提出了一种鲁棒自适应神经网络控制器设计方案。该方案保证跟踪误差收敛到零的一个小区域内，而且跟踪精度可以通过设计参数来调节。对于系统中的死区模型，通过划分区间的方法，取消了死区模型的倾斜度相等的条件，并通过自适应控制项的作用取消了死区模型参数的上下界必须已知的条件，使死区模型能够化为简化形式。通过引入Nussbaum函数的性质，使该方案中系统的虚拟控制增益可以完全未知。利用李亚普诺夫方法，证明闭环系统是半全局一致终结有界。

1 问题的描述及基本假设

考虑下面一类严格反馈非线性系统:

控制目标要求系统输出y尽可能去跟踪一个指定的期望轨迹yd。因此，问题是设计直接自适应神经网络控制器使得闭环系统半全局终结有界，跟踪误差收敛到一个小的残差集内。定义跟踪误差z1=y－yd=x1－yd。

假设1:存在正常数gi0，gi1使得0＜gi0≤|gi()|≤gi1，∀∈Ri，i=1，2，…，n且gi()，∀t≥0可微。

假设2:期望的轨迹向量xid是连续的，且xid∈Ωid⊂Ri，i=1，2，…，n，其中xid=(yd，，…，)T，xid是已知的有界闭集。

2 死区模型描述及Nussbaum函数的性质

输入为v(t)，输出为w(t)的死区模型描述为:

假使死区模型具有如下基本性质:

(1)死区输出w(t)是不可测量的;

(2)死区参数br，bl，mr，ml是未知的有界常数，但它们的符号是已知的，br＞0，bl＜0，mr＞0，ml＞0。

定义N=(xr，xl)，m=(mr，ml)T，其中

根据上述死区的基本性质，重新定义死区模型为:

且|d(v(t))|≤ρ*，ρ*是未知的正常数。

下面描述Nussbaum函数的性质:

引理1[7]:已知V(·)，ζ(·)都是[0，tf)上的光滑函数，且V(t)≥0，∀t∈[0，tf)，N(·)是Nussbaum函数，如果下列不等式成立:

其中常数c1＞0，g(t)是在未知闭区间I:=[l－1，l+1]，0∉I取值的时变参量，c0是合适的常数，那么V(t)，ζ(t)t和一定在[0，tf)上有界。

3 自适应神经网络控制器的设计及稳定性分析

定义有界紧集Ωz，设hn(z，W，V)是三层神经网络在Ωz上对h(z)的一个逼近，即

其中z=(z，…，z)T=(zT，1)T，V=(v，…，

1n1vl)∈R(p+1)×l，W=(w1，…，wl)T∈Rl，V，W分别是MNN的第1层到第2层，第2层到第3层的连结权;p=n，l＞1是NN的隐层结点数，常数γ＞0;同时，变换函数s(zα)=1/(1+e－γzα)。令

其中W*，V*是MNN的理想连结权，ε(z)是NN的逼近误差。由于h(z)，h(z，W*，V*)是在有界区域Ωz上的连续函数，所以∃ε＞0，使得

‖·‖F，‖·‖，‖·‖1分别表示Frobenius范数，2范数，1范数。

由(11)到(13)得

引入下列误差坐标变换:

其中α0=yd，α1，…，αn－1为待确定函数。

采用后推方法设计自适应神经网络控制器。

定义积分型李亚普诺夫函数

根据假设1及积分第一中值定理可知，∃λ1∈(0，1)，使得Vz1=/2|g1(λ1z1+yd)|。因为0＜g10≤|g1()|≤g11，∀∈R，所以，故Vz1是关于变量z1的非负函数。利用对称性可知。于是将Vz1对时间t求导，运用复合函数的求导规则及分部积分法，得

设h1(，W1，V1)是三层神经网络在Ω¯z1={(x1，yd，)T|x1d∈Ω1d}上对h1()的一个逼近，，是MNN的理想连结权，(t)，(t)分别为，在t时刻的估计，(t)=(t)－，(t)=(t)－，则h1()=h1(，，)+ε1()，

根据假设3，得

取虚拟控制:

取自适应律:

其中Γw1，Γv1是正定常矩阵，σ11，σ12＞0均为设计常数。

考虑如下李亚普诺夫函数:将V1关于时间t求导，利用控制律(19)、(20)和自适应律(21)、(22)，整理得

将上式两边在区间[0，t]求积分:

第i步(2≤i≤n－1):

定义积分型李亚普诺夫函数

取虚拟控制:

取自适应律:

考虑如下李亚普诺夫函数:

将Vi关于时间t求导，利用(26)－(30)得

将上式两边在区间[0，t]求积分:

定义积分型李亚普诺夫函数

取控制律:

取自适应律:

考虑如下李亚普诺夫函数:

将Vn关于时间t求导，利用(34)－(37)得

将上式两边在区间[0，t]求积分得:

由引理1可以得出:

Vn(t)在[0，tf)上是有界的。同样结论对tf=+∞也成立。令Cζ表示在[0，+∞2)上的一个上界Vn(0)+Cζ，则从而zn是有界的。同样有‖‖2≤。进一步得到第n－1步中的也是有界的，这样向前依次类推，易知Vi(t)，ζi，在[0，+∞)上是有界的，i=1，2…，n－1。

提出如下稳定性定理:

定理考虑严格反馈系统(1)，其控制律由式(34)，(35)确定，自适应律由式(36)，(37)确定，并满足假设1－3，则对任意有界初始条件，有:

(1)闭环系统所有信号都是半全局一致终结有界;

n，其中μi是可通过调节设计参数来改变大小。

4 结论

本文针对一类带有死区模型且具有摄动的严格反馈非线性系统，利用后推设计方法及神经网络的逼近能力，提出了一种直接自适应神经网络控制策略。理论分析证明了跟踪误差可以收敛到一个小的残差集内，而且跟踪精度可以通过设计参数来调节。

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