指数有界双参数n阶α次积分C半群的谱映射定理

周裕然，赵华新，周 阳

(延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000)

谱的相关理论是算子半群主要研究的内容之一，许多学者研究了谱的相关性质[1-3]。文献[4]研究了双参数C半群的一些结果及其相关性质；文献[5]给出了n阶α次积分C半群的概念、预解集以及次生成元等问题；文献[6]讨论了双参数n阶α次积分C半群及其性质；文献[7]研究了指数有界双连续n阶α次积分C半群的生成定理;文献[8-11]研究了相关半群的谱映射定理。本文在上述研究的基础上，利用指数有界双参数n阶α次积分C半群的点谱、剩余谱、连续谱的定义，讨论了指数有界双参数n阶α次积分C半群的谱映射定理。

1 预备知识

在本文中，X为无限维的复Banach空间，B(X)是X上有界线性算子全体所成的Banach代数；D(A)为线性算子A的定义域，设n∈N，α≥0。

T=0当且仅当存在n≥0使

JnT(t,s)=0，t,s≥0。

定义1[6]设n∈N，α≥0，C∈B(X)是单射，算子族{T(t,s):∀t,s≥0}⊂B(X)。

被称为指数有界双参数n阶α次积分C半群，则以下条件成立:

∀t,s≥0；

(2)存在闭线性算子A=(A1,A2)，满足

∀x∈X,t,s≥0,JnT(t,s)∈D(A),

∀x∈D(A),t,s≥0,

(3)存在M≥0,ω∈R使

‖T(t,s)‖≤‖C-1‖Meω(t+s)，∀t,s≥0。

称A=(A1,A2)是{T(t,s)：∀t,s≥0}⊂B(X)的次生成元，把G(M,ω,C,t,s)记为X内的所有指数有界双参数n阶α次积分C半群。

定义2[6]设A为指数有界双参数n阶α次积分C群的次生成元，则称集合：{aλ+bμ|λn-1μn-1((aλ+bμ)n-T(t,s))-1C∈B(X),a,b∈R,t,s≥0}为指数有界双参数n阶α次积分C半群{T(t,s):∀t,s≥0}的预解集，称集合C/ρc(T(t,s))指数有界双参数n阶α次积分C半群{T(t,s):∀t,s≥0}的谱，记为σc(T(t,s))。

定义3[6]设{T(t,s):∀t,s≥0}是复Banach空间X上的指数有界参数n阶α次积分C半群，分别称集合

σpc(A)={aλ+bμ:((aλ+bμ)n-A)-1C不存在}，

2 主要结果

定理1 设{T(s,t)}s,t≥0是由A次生成的指数有界双参数n阶α次积分C半群。令

x∈X,s,t≥0，λ,u∈R。则

(1)∀x∈X,

(λn-1μn-1((aλ+bμ)n-A))Bλ,μ(s,t)x=

-λn-1μn-1C·eλs+μtx-λn-1μn-1T(s,t)x；

(2)∀x∈D(A),

Bλ,μ(s,t)(λn-1μn-1((aλ+bμ)n-A))x=

-λn-1μn-1C·eλs+μtx-λn-1μn-1T(s,t)x。

证明由Bλ,μ(s,t)的定义可知，

Bλ,μ(s,t)∈B(X)对x∈X有

λn-1μn-1·

λn-1μn-1·

U1=U2=U3。

λn-1μn-1(λa+μb)nCBλ,μ(s,t)x。

T(s,t)Cx。

λn-1μn-1C2eλs+μtx。

λn-1μn-1(λa+μb)nCBλ,u(s,t)x+

λn-1μn-1T(s,t)x+λn-1μn-1C2eλs+μtx。

λn-1μn-1(λa+μb)nBλ,u(s,t)x+λn-1μn-1T(s,t)x+

λn-1μn-1Ceλs+μtx。

λn-1μn-1(λa+μb)nBλ,μ(s,t)x+λn-1μn-1T(s,t)x+

λn-1μn-1Ceλs+μtx。

所以λn-1μn-1((λa+μb)n-A)Bλ,μ(s,t)x=

-λn-1μn-1Ceλs+μtx-λn-1μn-1T(s,t)x。

∀x∈D(A)有，Bλ,μ(s0,t0)x∈D(A)且

Bλ,μ(s0,t0)λn-1μn-1Ax=

Bλ,μ(s0,t0)λn-1μn-1(λa+μb)nx+

λn-1μn-1Ceλs0+μt0x+λn-1μn-1T(s0,t0)x。

所以有Bλ,μ(s,t)λn-1μn-1((λa+μb)n-A)x=

-λn-1μn-1Ceλs+μtx-λn-1μn-1T(s,t)x。

定理2 设{T(s,t)}s,t≥0是由A次生成的指数有界双参数n阶α次积分C半群，则

esσ(A1)+tσ(A2)⊆σc(T(s,t))。

证明因为A是指数有界双参数n阶α次积分C半群的次生成元，而A1，A2分别为指数有界双参数n阶α次积分C半群T(s,0)和T(0,t)的无穷小次生成元，所以只需要证明

esρ(A1)+tρ(A2)⊇ρc(T(s,t))或者

设λn-1μn-1e(λa+μb)n∈ρc(T(s,t))，则

(-Cλn-1μn-1eλs+μt-λn-1μn-1T(s,t))-1∈B(x)。

令M=(-Cλn-1μn-1eλs+μt-λn-1μn-1T(s,t))-1，

则由定理1，∀x∈X有

λn-1μn-1((λa+μb)n-A)Bλ,μ(s,t)Mx=

(-Ceλs+μtλn-1μn-1-λn-1μn-1T(s,t))Mx=x。

对于∀x∈D(A)，有

MBλ,μ(s,t)λn-1μn-1((λa+μb)n-A)x=

M(-Ceλs+μtλn-1μn-1-λn-1μn-1T(s,t))x=x。

由Bλ,μ(s,t)的定义知，M与Bλ,μ(s,t)可交换，则∀x∈D(A)有

Bλ,μ(s,t)Mλn-1μn-1((λa+μb)n-A)x=x。

综上可知，(λn-1μn-1((λa+μb)n-A))=

Bλ,μ(s,t)M∈B(x)，故

aρ(A1)+bρ(A2)，

从而定理得证。

定理3 设{T(s,t)}s,t≥0是由A次生成的指数有界双参数n阶α次积分C半群，则

esσp(A1)+tσp(A2)⊆ρp(T(s,t))。

λn-1μn-1(aλk+bμk)n=

证明

从而由定理1知

即∃x0≠0，使得

由定义得λn-1μn-1eλs+μt∈σpc(T(s,t))。

(2)设λn-1μn-1eλs+μt∈σp(T(s,t))，

由定义3知∃x0≠0，使得

-λn-1μn-1Ceλs+μtx-λn-1μn-1T(s,t)x=

λn-1μn-1Ce(λa+μb)lx-λn-1μn-1T(al,bl)x，

λn-1μn-1e-(λa+μb)(l+t)T(a(l+t),b(l+t))x0=

λn-1μn-1e-(λa+μb)le-(λa+μb)tC-1T(al,bl)T(at,bt)x0=

λn-1μn-1e-(λa+μb)lT(al,bl)x0。

所以连续函数l→λn-1μn-1e-(λa+μb)lT(al,bl)x0是以t为周期的周期函数。

由于λn-1μn-1e-(λa+μb)lT(al,bl)x0不恒等于零，所以Fourier函数必有一个不为零，所以∃k∈N，使得

以下证明

令ηk=λn-1μn-1(aλk+bμk)n，

η=λn-1μn-1(aλ+bμ)n，

ξ=λn-1μn-1(aλ0,+bμ0)n，则

λn-1μn-1(ξ-A)-1Cx0=

T(a(φ+nt),b(φ+nt))x0dφ=

T(a(φ+nt),b(φ+nt))x0dφ=

所以λn-1μn-1(ηk-A)xk=0。

而xk≠0，A是闭线性算子，因此

ηk=λn-1μn-1(aλk+bμk)n=

结论得证。

定理4 设{T(s,t)}s,t≥0是由A次生成的指数有界双参数n阶α次积分C半群，若

λn-1μn-1(λa+μb)n∈σ(A)，且对于n∈N，

λn-1μn-1(λa+μb)n=

证明若λn-1μn-1(λa+μb)∈σ(A)，设(λa+μb)∈σr(A)。由定义3得

则存在x*∈X′，x*≠0，使得

〈x*,λn-1μn-1((λa+μb)n-A)·Cx〉=0。

由λn-1μn-1((λa+μb)n-A)Bλ,μ(s,t)x=

(-C·eλs+μtλn-1μn-1T(s,t))x，

λn-1μn-1((λa+μb)n-A)Bλ,μ(s,t)x=

-C·eλs+μtλn-1μn-1x-λn-1μn-1T(s,t)x，

得〈x*,(-C·eλs+μtλn-1μn-1-λn-1μn-1T(s,t))x〉=0，x∈X。

因此

即R(-C·eλs+μtλn-1μn-1-λn-1μn-1T(s,t))在X中不稠密。

由定理3得∃n∈N，使得

λn-1μn-1(λa+μb)n=

这与定理的已知条件矛盾。

因此(-C·eλs+μtλn-1μn-1-λn-1μn-1T(s,t))-1存在，从而由定义知

定理5 设{T(s,t)}s,t≥0是由A生成的指数有界双参数n阶α次积分C半群，若

则由定理3得λn-1μn-1(λna+μnb)∈σp(A)，与已知条件矛盾。

则由定理4得λn-1μn-1(λna+μnb)∈σr(A)，与已知条件矛盾。