浅析线性变量的平均值及其应用

周峰

(淮安市新马高级中学 江苏 淮安 211700)

1 线性变量平均值的定义

当物理量y随着物理量x变化时，若x的变化范围为x1～x2，则在这段范围内，y相对于x的平均值是

当y随着x做线性变化时，令y=kx+b，代入积分式得

2 中学物理中的线性变量的平均值

图1

3 线性变量平均值的应用及典型错误

【例1】蚂蚁离开蚁巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反比，当蚂蚁爬到与蚁巢中心的距离L1=1 m的A点处时，速度是v1=2 cm/s.试问蚂蚁从A点爬到与蚁巢中心的距离L2=2 m的B点所需的时间为多少？

图2

由v1L1=v2L2，得v2=1 cm/s.

4 对线性变量平均值的深入理解及错因分析

5 高考链接

【例2】(2006年高考江苏卷第19题)如图3所示，顶角θ=45°的金属导轨MON固定在水平面内，导轨处在方向竖直、磁感应强度为B的匀强磁场中.一根与ON垂直的导体棒在水平外力作用下以恒定速度v0沿导轨MON向右滑动，导体棒的质量为m，导轨与导体棒单位长度的电阻均为r.导体棒与导轨接触点为a和b，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触.t=0时，导体棒位于顶角O处.求

图3

(1)t时刻流过导体棒的电流强度I和电流方向.

(2)导体棒作匀速直线运动时水平外力F的表达式.

(3)导体棒在0～t时间内产生的焦耳热Q.

(4)若在t0时刻将外力F撤去，导体棒最终在导轨上静止时的坐标x.

对于第(3)问，有

解法一：t时刻导体棒的电功率为

因为P∝t，如图4(a)，所以

图4

解法二：t时刻导体棒的电功率为

P=I2R′

由于I恒定，R′=v0rt∝t，如图4(b)所示.

因此

第(4)问可应用微积分思想，采用动量定理、动能定理或牛顿第二定律多种解法求解.具体过程此处不再讨论.