由感应电荷巧解电磁感应问题
2011-01-24徐正恒
徐正恒
(衡阳县第一中学 湖南 衡阳 421200)
电磁感应是高中物理的重点内容，常常与其他内容，特别是与力学内容的综合应用时，涉及到受力分析、运动状态分析以及图像问题，要用到电学、力学和数学的很多知识.由于物体在安培力作用下的运动一般是变速运动，常常要运用微元法和数学累积求和求解，运算繁杂，稍有不慎很难得到正确的答案.但是如果根据安培力的冲量，从感应电荷入手，运用动量定理可以避免繁杂的数学运算，巧妙地解答电磁感应问题，很快得到正确答案.下面通过两个例子的对比分析，感受它给解题带来的便捷.
图1
【例题1】(2007年高考江苏卷)如图1所示，空间等间距分布着水平方向的条形匀强磁场，竖直方向磁场区域足够长，磁感应强度B=1 T，每一条形磁场区域的宽度及相邻条形磁场区域的间距均为d=0.5 m.现有一边长l=0.2 m、质量m=0.1 kg、电阻R=0.1 Ω的正方形线框MNOP以v0=7 m/s的初速从左侧磁场边缘水平进入磁场，求：
(1)线框MN边刚进入磁场时受到安培力的大小F；
(2)线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中产生的焦耳热Q；
(3)线框能穿过的完整条形磁场区域的个数n.
解析：(1)线框MN边刚进入磁场时有
(2)分析线圈的受力情况和运动情况：水平方向间隔的(线圈进、出磁场过程)受到安培力的作用，所以线圈水平方向间隔的做减速、匀速运动，直至速度减到零；竖直方向只受重力作用，一直做自由落体运动.线圈最终运动状态是竖直下落.设线框竖直下落H时，速度为vH.
由能量守恒得
自由落体规律
vH2=2gH
解得
(3)解法一：
只有在线框进入和穿出条形磁场区域时，才产生感应电动势，线框部分进入磁场区域x时有
在t→t+Δt时间内，由动量定理
-FΔt=mΔv
求和
解得
穿过条形磁场区域的个数为
可穿过4个完整条形磁场区域.
解法二：
线框穿过第1个条形磁场左边界过程中
根据动量定理
解得
同理线框穿过第1个条形磁场右边界过程中有
所以线框穿过第1个条形磁场过程中有
设线框能穿过n个条形磁场，则有
解得
可穿过4个完整条形磁场区域.
解法三：
对线圈水平方向由动量定理得
即
又线圈每通过一个磁场区域线圈中产生的电荷量为
所以可穿过完整条形磁场区域的个数为
可以看出，解法三从安培力的冲量出发运用动量定理，以感应电荷量作桥梁解题，过程简捷，思路清晰，答案易于得出，是一种好方法.
【例题2】如图2所示，很长的光滑磁棒竖直固定在水平面上，在它的侧面有均匀向外的辐射状的磁场.磁棒外套有一个质量均匀的圆形线圈，质量为m，半径为R，电阻为r，线圈所在磁场处的磁感应强度为B.让线圈从磁棒上端由静止释放沿磁棒下落，经一段时间与水平面相碰并反弹，线圈反弹速度减小到零后又沿磁棒下落，这样线圈 会不断地与水平面相碰下去，直到停留在水平面上.已知第一次碰后反弹上升的时间为t1，下落的时间为t2，重力加速度为g，不计碰撞过程中能量损失和线圈中电流磁场的影响.求：
(1)线圈第一次下落过程中的最大速度vm；
(2)第一次与水平面碰后上升到最高点的过程中通过线圈某一截面的电量 ；
(3)线圈从第一次到第二次与水平面相碰的过程中产生的焦耳热Q.
图2
解法一：
(1)线圈第一次下落过程中有
E=B·2πRv
mg-BI·2πR=ma
可知线圈做加速度减小的加速运动，当a=0时，速度最大，代入求得
(2)反弹后上升的过程中某一时刻，由牛顿运动定律得
mg+BI·2πR=ma
在一段微小时间Δt内，速度增量为Δv=aΔt，通过线圈截面电荷量为Δq=IΔt,则
(3)反弹后上升的过程中某一时刻，由牛顿运动定律得
在一段微小时间Δt内，速度增量为Δv=aΔt，线圈上升高度为Δh=vΔt，则线圈可上升的最大高度h为
线圈到达最高点后，下落过程中的某一时刻，由牛顿运动定律得
在一段微小时间Δt内，速度增量为Δv=aΔt，线圈下降高度为 Δh=vΔt.则线圈第二次下降到水平面时的速度为
v=∑Δv=
本过程中线圈中产生的热量为线圈动能的损失
化简得
解法二：
(1)线圈第一次下落过程中有
E=B·2πRv
mg-BI·2πR=ma
可知线圈做加速度减小的加速运动;当a=0时，速度最大，代入求得
(2)第一次反弹至最高点，由动量定理得
所以
(3)对上升过程
对下落过程
又上、下过程中通过线圈的电荷量相等，即
所以
v=g(t1+t2)-vm
根据能量守恒得
故
不难看出，方法二解题更简捷，答案能很快得出，是一种好方法.
从以上两个例题的对比分析和解答，能够感受到以安培力的冲量推出的感应电荷量为桥梁，运用动量定理解答有关安培力作用下电磁感应的动力学问题，可以大大优化解题方法，简化解题步骤，达到事半功倍的效果.
