随位移均匀变化的磁场中电磁感应规律的初探

甘恒一 胡 安 汤辰旭 姜付锦

(黄陂区第一中学 湖北 武汉 430030)

1 题目

如图1所示，在第一象限内存在垂直纸面向外的磁场，磁感应强度B=B0+kx,(B0>0,k>0且都是常数)，x为某点到y轴的距离，有一个边长为L的正方形导体线框ABCD沿x轴从原点以速度v0匀速运动，求导体线框中产生的感应电动势E.

图1 题目题图

设AD所在位置坐标为xD，BC边所在位置为

xC，由法拉第电磁感应定律，则

EAD=BDLv0EBC=BCLv0xC-xD=L

导体线框中的总电动势为

E=BCLv0-BDLv0=L2kv0

2 若导体线框是正三角形会怎样

总电动势微元

把上式求定积分得

图2 导体线框边长为L的正三角形

3 若导体线框是一个半径为R的圆形，则结果又如何

如图3所示，在夹角为θ两边对称位置取微元Rdθ，则电动势微元为

dE=dE2-dE1=[B0+k(x0+Rsinθ)]Rv0·

sinθdθ-[B0+k(x0-Rsinθ)]Rv0sinθdθ

整理后得

dE=2RsinθkRv0sinθdθ=2R2kv0sin2θdθ

对以上式子求定积分得

图3 导体线框为半径R的圆形

4 一点猜想

当导体线框是正方形时，导体线框中的总电动势为

E=BCLv0-BDLv0=L2kv0

当导体线框是正三角形时，导体线框中的总电动势为

当导体线框是圆形时，导体线框中的总电动势为

通过以上分析可以发现，感应电动势与导体线框的面积成正比，比例系数为kv0，为什么是这样的呢？

5 数学证明

如图4所示，假设导体线框是任意形状的封闭曲线，把曲线在纵向平均分割成无数个条状面元，每个面元的高度为Δy，在其上任意选择一个矩形ABCD，则这个矩形中产生的感应电动势为

dE=(B0+kxD)v0Δy-(B0+kxA)v0Δy=

v0k(xD-xA)Δy=v0kΔxΔy

上式中的ΔyΔx正好是面元的面积，所以对它求定积分后就是导体线框的面积.

综上所述，在随位移均匀变化的磁场中，导体线框在匀速运动时产生的 感应电动势与导体线框的面积成正比，比例系数为kv0.

图4 导体线框为任意形状的封闭曲线