环状多面体

黄晶　顾嘉闻　朱怡宁　应涵宇　邱为钢

【摘要】给出了磁棒和小球搭建起来的环状多面体的顶点坐标，利用数学软件，绘制了这些多面体的三维图示.

【关键词】磁棒;环状多面体;三维图

儿童玩具中可以搭建成三维造型的有雪花片，塑料长方形积木，磁棒和小球.这些东西其实隐含着比较高深的数学物理，譬如镶嵌雪花片的滚动模式[1]，塑料长方形积木构造的推广正多面体[2].磁棒和小球也能搭出以下环状多面体，如图1所示.

一个有趣问题是，我们能否知道这些多面体的顶点坐标，然后用数学软件绘制3维图形？在这个探索过程中，不仅能学习用到立体几何，解析几何，数学软件，还能把动手和动脑结合起来，融娱乐和学习与一身，实在是空间解析几何的一个好例题.数学软件我们并没有采用中学教师常用的几何画板而是Mathematica，它比几何画板具有更强大的三维几何绘制和表现能力.另外为了美观和与实际模型切配，我们用圆柱管代替线条，小圆球代替点，虽然理论上严格推导坐标的假设是线条和点.

我们先从图1左边第一种类型的环状多面体开始，这个多面体的基本单元是正五边形双棱锥，如图2所示.

把这个多面体投影到桌面上，出来一个正多边形，边与边的夹角（内角）是108+60=168度.60度来自正三角形，由两个五棱锥的两个底边磁棒和一个连接磁棒组成.这个正多边形的外角是180-168=12度，所以这个正多边形的边数是36012=30.正五边形中心，多面体对称中心以及正五边形外侧顶点组成一个三角形，内角分别为144，6和30度.设磁棒长度为1，那么由正弦定理.原点（中心）到正五边形中心距离是sin30°sin6°.图2中的正五边形双棱锥的七个顶点相对中心的坐标很容易求得，利用数学软件的图形平移和旋转功能，得到第一类环状多面体的模拟三维图是：

搭建实物，仔细观察如图1中间第二个环状多面体的结构和对称性，发现它具有正五边形对称性，基本组成单元如图4所示：

图3和图5是本文的主要结果.整个探索过程，即动手又动脑，融娱乐与学习于一体，体现了数学好玩的特色.实际上磁棒和小球还能搭出更多形状的多面体，读者如有兴趣的话，不妨仿照本文的思路，把这些玩具多面体也搭建，绘制，和3D打印出来，当作数学探究课题.

【参考文献】

[1]邱為钢.玩具中的物理：镶嵌雪花片的滚动轨迹[J].物理教师，2014（9）：70-71

[2]邱为钢.玩具与正多面体[J].数学通报，2016（12）：55-57.