基于模糊理论的随机可靠性分析

赵古田, 董玉革, 宋智燕

(合肥工业大学 机械与汽车工程学院,安徽 合肥 230009)

目前,主要有2种方法对可靠性进行分析:一种是随机的方法;另一种是在20世纪80年代中后期,随着模糊数学的发展提出了模糊可靠性方法,包括模糊概率理论[1-3]及模糊截集的方法[4-9]。因此,随机方法与模糊方法等价性的研究有利于2种方法的统一[4]。本文首先将随机变量转化为模糊变量,采用2种方法分析其可靠性:①利用将隶属函数转化为该阈值λ时的区间数,并利用区间数的运算法则计算失效概率;②参照随机应力强度干涉模型,建立模糊应力强度干涉模型,结合概率论计算出极限状态变量的联合分布密度函数,最后算出失效概率。

本文将提供随机可靠性问题分析的新方法,为今后建立随机可靠性、模糊可靠性和非概率可靠性混合模型的分析方法提供参考依据,这对在已有信息的条件下获得最合理的可靠性分析结果,丰富机械产品可靠性的设计理论与方法,有重要意义。

1 随机变量与模糊变量的互换通式

通过把模糊变量变换为当量随机变量,可用传统可靠性理论分析模糊可靠性问题。与此相对应,通过把随机变量变换为模糊变量的逆变换,应该可用模糊数学方法计算传统可靠性问题。为从理论上讨论用模糊数学方法计算传统可靠性问题的方法,推导相应的可靠性计算公式,首先给出随机变量与模糊变量的互换公式。

记模糊变量隶属函数[6]为:

其中,aλ、bλ为隶属函数的λ截集,即

相应地,设随机变量 x的概率密度函数为fx(x),则其变换为当量模糊变量后,隶属度函数为[10]:

2 随机可靠性问题及变量互换

2.1 随机可靠性计算

为便于分析比较,不失一般性,设随机强度和随机应力分别服从(4)式和(5)式的分布形式,即

根据传统可靠性分析的随机应力强度干涉模型,可计算失效概率为[11]:

在上述条件下:

2.2 随机变量变换为模糊变量的表达式

根据(3)式的随机变量变换转化为模糊变量的关系式,可将(4)式和(5)式的概率密度函数变换为隶属函数,具体表达式分别为:

在把随机强度和随机应力变换为模糊强度和模糊应力后,本文讨论用模糊数学方法分析上述随机可靠性问题。

3 基于模糊理论的随机可靠性分析

对强度和应力均为模糊变量的可靠性分析,所用到的模糊理论是模糊数学中的截集概念,即给定一阈值λ,可将隶属函数转化为该阈值λ时的区间数。在获得给定阈值λ时模糊强度的区间数和模糊应力的区间数后,利用区间数运算法则获得模糊干涉变量~Z=的区间数,然后根据截集的概念,认为干涉变量在该区间内为服从均匀分布的随机变量,在阈值为λ时的失效概率为:

其中

λ的取值范围为[0,λ*],总失效概率[12]为:

代入相关参数并化简,得:

在(9)式的计算过程中,λ*按下列方法获得。

令 μ~r(x)=μ~s(x),得 :

经对多个算例的失效概率计算结果分析,该方法计算的失效概率与按随机变量计算的结果相比,误差较大(详见文末算例)。从理论上分析其原因,可以给出这样的解释:在给定阈值λ时获得模糊强度的区间数和模糊应力的区间数后,可以认为强度和应力在各自的区间内服从均匀分布,根据概率论的知识,干涉变量=将不服从均匀分布。而上述方法在利用区间数的运算法则,获得干涉变量的区间数后,再把干涉变量取为该区间内的均匀分布的随机变量,显然与真实情况不同。

上述方法虽然计算过程简单,但是计算结果误差太大,不宜采用。

通过分析,需要对上述方法进行改进。在给定阈值λ时获得模糊强度的区间数=[aλ,bλ]和模糊应力的区间数λ=[cλ,dλ]后,可以认为强度和应力在各自的区间内服从均匀分布。

设 h=bλ-aλ,l=dλ-cλ,当 h ＜l时(h ≥l时 ,将其中所有的l与h互换),则在给定阈值λ时干涉变量z的概率密度函数为:

其图形如图1所示。

图1 给定阈值λ时干涉变量的概率密度函数

总失效概率为:

其中,λ*由(10)式得到。

(6)式与(13)式相比,仍有差异,需要对(13)式结果的方法进行改进。经分析,把模糊强度和模糊应力各自变换为区间数时,因采用同一阈值λ,缺乏足够的理论支持。

显然,在实际问题中相互独立的应力和强度应采用不同的阈值,因此需要用2个相互独立的阈值λr和λs,把模糊强度和模糊应力转换为服从均匀分布的随机变量。

其中,h=bλr-aλr,l=dλs-cλs,上式为当 h ＜l时(h＞l时将式中所有的l与h互换)所得到的阈值为λr和λs时的失效概率为:

由隶属度函数μr(r)、μs(s)性质和图2所示的干 涉 模 型, 给 定 λr,r ∈ [aλr,bλr];λs,s∈[cλs,dλs] 。

总失效概率为:

图2 模糊应力强度干涉模型

4 不同极限状态变量的随机可靠性分析

当h＜l时,概率密度函数为:

4.1 可靠性分析

为了使研究更具一般性,通过分析另一个极

其概率密度函数的图形,如图3所示。

图3 状态变量的概率密度函数

总失效概率为:

(18)式化简结果与(15)式完全一致。

4.2 失效概率比较

不同方法计算的失效概率比较,见表1所列。

表1 不同方法计算的失效概率比较

由表1可知,(13)式有一定误差,(9)式误差较大。

5 结束语

(1)基于随机变量变换为模糊变量,可以利用模糊理论分析随机可靠性问题。

(2)本文分别利用传统可靠性分析方法、基于模糊理论的区间数法、基于模糊理论在同一阈值λ下和不同阈值λ的取得区间数的联合概率密度函数求可靠性的方法,通过分析在不同阈值下求得的结果与传统可靠性相同。

(3)本文用不同的极限状态方程验证方法的有效性。通过分析,极限状态方程应尽可能简单。

[1] 吴杰明.存在模糊信息的可靠性计算[J].机械设计,1987,4(2):7-12.

[2] 黄洪钟.随机应力模糊强度时的模糊可靠性分析[J].机械强度,2001,23(3):305-307.

[3] 董玉革.机械模糊可靠性设计[M].北京:机械工业出版社,2001:15-65.

[4] 江 涛.随机应力模糊强度时模糊可靠性计算理论的等价性研究[J].机械强度,2006,28(1):61-64.

[5] 董玉革.模糊强度随机应力时机械零件模糊可靠性设计方法的研究[J].机械设计,1999,16(3):11-13.

[6] 董玉革,朱文予,陈心昭.机械模糊可靠性指标计算方法的研究[J].系统工程学报,2000,15(1):7-12.

[7] 董玉革.随机变量和模糊变量组合时的模糊可靠性设计[J].机械工程学报,2000,36(6):25-29.

[8] Dong Yuge,Chen Xinzhao,Cho H,et al.Simulation of fuzzy reliability indexes[J].KSME(The Korean Society of Mechanical Engineers)International Journal,2003,17(4):492-500.

[9] Jiang Qimi,Chen C H.A numerical algorithm of fuzzy reliability[J].Reliability Engineering&System Safety,2003,80:299-307.

[10] 董玉革,高 亮,祁型红.传统可靠性分析的模糊方法[J].机械工业标准化与质量,2006,31(4):21-23.

[11] 朱文予.机械概率设计与模糊设计[M].北京:高等教育出版社,2001:46-158.

[12] 杨伦标,高英仪.模糊数学原理及应用[M].广州:华南理工大学出版社,2001:183-185.