构造辅助函数法在《数学分析》中的应用

李景琴

（赤峰学院 数学学院，内蒙古 赤峰 024000）

构造辅助函数法在《数学分析》中的应用

李景琴

（赤峰学院 数学学院，内蒙古 赤峰 024000）

本文主要讨论了如何用构造辅助函数法解决《数学分析》中的有关问题.

辅助函数；方程；不等式；恒等式；有界；一致连续

构造辅助函数法是在《数学分析》中解题经常用到的方法，它能将问题化繁为简，使隐含条件变得明显、具体.所谓构造辅助函数就是在解题中，依据题设和结论，构造出一个新的函数，把结论转化为研究该函数的性质，以此达到解题的目的.下面举例说明如何用构造辅助函数法解决《数学分析》中的有关问题.

1 在判别方程根的存在性中的应用

在判别方程根的存在性时，主要依据是零点存在定理和罗尔定理.

1.1 应用零点存在定理判别方程根的情况时，将方程一端化为零，令另一端为某一函数，构造出辅助函数.

例1证明方程x=asinx+b(a,b＞0)至少有一个不超过a+b的正实根.

证明 方程可化为x-asinx-b=0

令f(x)=x-asinx-b，则f(x)在[0,a+b]上连续，且

f(0)=-b＜0,f(a+b)=(a+b)-asin(a+b)-b=a[1-sin(a+b)]≥0

（ⅰ）若f(a+b)=0，则ξ=a+b是方程f(x)=0的根；

（ⅱ）若f(a+b)＞0，则根据零点存在定理，至少∃ξ∈(0, a+b)，使f(ξ)=0,即方程f(x)=0至少有一个小于a+b的正实根ξ.

由（ⅰ）、（ⅱ）可知，方程x=asinx+b(a,b＞0)至少有一个不超过a+b的正实根.

证明 令 F(x)=5(x-2)(x-3)+7(x-1)(x-3)+16(x-1)(x-2)

则F(x)在[1，2]与[2，3]上都连续.

又因为F(1)=10＞0,F(2)=-7＜0,F(3)=32＞0，

所以F(x)=0在（1，2）内至少有一实根，在（2，3）内也至少有一实根.

则f(x)=0在（1，2）内至少有一实根，在（2，3）内也至少有一实根，

证明方程C0+C1x+…+Cnxn=0在（0,1）内至少有一个实根.

即方程C0+C1x+…+Cnxn=0在（0,1）内至少有一个实根.

2 在证明不等式中的应用

用辅助函数证明不等式，常用的方法有：①利用函数的单调性；②利用拉格朗日中值定理；③利用函数的凸凹性. 2.1利用函数的单调性证明不等式

证明 （ⅰ）令f(x)=sinx-x，则f'(x)=cosx-1≤0，所以f(x)在[0，+∞）内单调递减.所以当x＞0时，f(x)＜f(0)=0，所以sinx＜x.

2.2 利用拉格朗日中值定理证明不等式

形如c≤f(a)-f(b)≤d的不等式，可构造辅助函数f(x)，使f(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理的条件，再通过适当变形，使结论得证.

2.3 利用函数的凸凹性证明不等式

3 在证明恒等式中的应用

所以f(x)=C，C为确定常数，

4 在证明函数有界中的应用

由闭区间上连续函数的性质知，若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有界.在某一开区间内有界，可把此开区间内的函数连续延拓为闭区间的函数，构造出辅助函数.

例8设f(x)在[a,b]上有定义，除第一类间断点c∈(a,b)外都连续，则f(x)在[a,b]上有界.

所以g(x)在[a,c]上连续，根据有界性定理，g(x)在[a,c]上有界，

从而f(x)在[a,c）内有界，即存在M1＞0，使得|f(x)|≤M1x∈[a,c)

所以h(x)在[c,b]上连续，根据有界性定理，h(x)在[c,b]上有界，从而f(x)在(c,b]内有界，即存在M2＞0，使得|f(x)|≤M2x∈(c,b]

令M=max{M1,M2,|G|}，则|f(x)≤M x∈[a,b]故f(x)在[a,b]上有界.

5 在证明函数一致连续性的应用

在证明函数一致连续性时，构造辅助函数常用的方法是连续延拓法.

从而对于∀x1,x2∈[A,+∞)，有|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)-G|+|f(x2) -G|＜ε

所以f(x)在[A,+∞)上一致连续.

故f(x)在(a,+∞)内一致连续.

辅助函数的应用是广泛的，形式也多种多样.在实际应用中不同的题构造辅助函数的方法不同，同一题还可以构造不同的辅助函数.

〔1〕华东师范大学.数学分析.人民教育出版社，1980.

〔2〕刘玉莲.数学分析.高等教育出版社，1991.

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1673-260X（2010）09-0001-02