两种接收机结构的等效性证明

黄葆华 吕 晶

(解放军理工大学通信工程学院,江苏南京 210007)

在“数字通信原理”课程的教学中,涉及到两大类型的接收机,一类是使用积分器(或匹配滤波器)的最佳接收机[1,2],另一类是使用低通滤波器的普通接收机[3,4]。以2PSK接收机为例,两种类型的接收机结构分别如图1和图2所示。

图1 2PSK信号的最佳接收机

图2 2PSK信号的普通接收机

比较图1和图2所示的这两类接收机的组成可见,图1所示的最佳接收机在输入端没有带通滤波器,来自信道中的噪声由积分器滤除。对于噪声而言,积分器起到低通滤波器的作用。同样,图2所示的普通接收机中也有低通滤波器,那么普通接收机能否像最佳接收机一样可以去掉带通滤波器?也就是说,去掉带通滤波器后的普通接收机的误码性能是否会受到影响?目前的通信原理教材对此均无明确说明和推导证明。为此,本文着重对无带通滤波器的普通接收机结构的误码性能进行推导,并与教材中的有带通滤波器的普通接收机的误码率性能比较,证明两种结构在理论上是等效的。

1 有带通滤波器的接收机误码性能[5]

图2所示的2PSK接收机带通滤波器的中心频率为 fc、带宽为Bbp=2/Ts,低通滤波器的带宽为Blp=1/Ts,其中 Ts为二进制码元宽度。信道中噪声n(t)为零均值高斯白噪声,功率谱密度为n0/2。

设调制采用“1”变“0”不变规则。则当发端发“1”码时,带通滤波器输入为

当发端发“0”码时,带通滤波器输入为

“1”和“0”等概率时,接收机的误码率为[5,6]

为便于比较,对上述接收滤波器输入端的信噪比r进行适当变换:

2 无带通滤波器的接收机误码性能

无带通滤波器的2PSK接收机结构如图3所示。低通滤波器的带宽及信道中的噪声均与图2中的相同。

图3 无带通滤波器的2PSK接收机

要想得到接收机的误码率,首先需要求得用于判决的变量的概率密度函数。

发“0”码时,接收机输入为

与载波相乘后,送到低通滤波器,低通滤波器的输入为

低通滤器的输出为

其中h(t)为低通滤波器的冲激响应。

已知n(t)是均值为0的高斯随机变量,由随机变量通过线性系统的性质可知,n1(t)也是均值为0的高斯随机变量。因此,xb(t)的瞬时值是一个高斯随机变量,即用于判决的随机变量是高斯分布的,其概率密度函数完全由其均值和方差决定。

现分别讨论上式中的A和B的值:

(1)由帕塞瓦尔定理得到

设理想低通滤器传输特性的幅度为1,则有

通过冲激响应为h2(t)的滤波器输出。带宽为Blp和幅度为1的理想低通滤波器的冲激响应为h(t)=2BlpSa(2πBlpt),由此可得

用傅氏变换得到其输特性为三角特性。h2(t)及其对应的传输特性如图4所示。

图4 冲激响应与传输特性示意图

由图4所示的传输特性可见,h2(t)这个冲激响应所对应的电路是个低通滤波器,高频信号cos4πfct无法通过。因此B=0。

将A和B值代入式(3),得方差σ2=0.5n0Blp。所以发“0”时,判决量是一个均值为 a/2、方差为σ2=0.5n0Blp的高斯随机变量,其概率密度函数为

同理可证明:当发送“1”码时,用于接收机中判决的是一个均值为、方差为 σ2=0.5n0BLp的高斯随机变量。其概率密度函数为

当“1”和“0”等概时,最佳判决门限为0,可计算出系统误码率为

对比(2)式与式(4)可见,图2与图3所示接收机的理论误码性能是一致的。

3 结语

本文通过推导,证明有无带通滤波器的这两种接收机结构在理论误码性能上是完全等效的。

在此需要说明两点:①尽管上述推导是以2PSK为例的,但结论适用于其它信号的接收机;②上述推导是在单信道环境下进行的。在多信道的实际应用环境下,接收机输入端需要有带通滤波器滤除邻道干扰。因此,在这种情况下,不管是最佳接收机还是普通接收机,输入端都需要带通滤波器。

[1] John G.Proakis.Digital Communications[M].北京:电子工业出版社,1998

[2] Simon Hay kin.Digital Communications[M].John Wiley and Sons,1988

[3] 沈振元等.通信系统原理[M].西安:西安电子科技大学出版社,2004

[4] 樊昌信等.通信原理[M].北京:国防工业出版社,2001

[5] 黄葆华等.通信原理[M].西安:西安电子科技大学出版社,2007