基于Mohr准则的岩石损伤本构模型及其修正研究

蒋 维,邓 建,司庆超

(1.中南大学 资源与安全工程学院,湖南 长沙410083;2.河北工程大学 资源学院,河北 邯郸 056038)

岩石是一种天然地质材料,其内部包含各种随机分布的缺陷,在外载荷作用下,这些缺陷将繁衍和发展,岩石内部结构的力学性能也将连续发生变化。岩石破裂过程中的全应力应变关系研究一直是岩石力学与工程研究的重点。目前,岩石损伤本构模型的研究主要包括唯象学方法和统计学方法。前者引进内部变量从宏观上对损伤问题进行分析,后者以统计学为工具,假设岩石微元物理力学性能服从某种随机分布,推导出岩石损伤演化方程和损伤本构模型。采用第二种方法建立岩石损伤本构模型的关键在于岩石微元强度的确定。自D.Krajcinovic等人将连续损伤理论与统计强度理论有机结合提出一统计损伤模型以来,许多学者[1-6]均在这方面进行了研究,初步建立了各种岩石损伤本构模型。

在岩土领域中广泛采用了Drucker-Prager准则和Mohr-Coulomb准则,这两个准则把Mohr圆包络线近似为直线。在较小应力范围内,把Mohr圆包络线近似为线性,误差不大,但是在高应力条件下,应力范围变化很大,如果将Mohr圆包络线近似为直线可能造成较大误差[7]。而Mohr准则是岩石在各种应力状态下强度特征的真实逼近,它能较准确地反映岩石的强度条件。本文拟在前人研究的基础上,利用经典的Mohr准则,重新定义岩石微元强度,建立出三轴压缩条件下岩石损伤本构模型。为使建立的模型更具一般性,分析了模型参数与围压的关系并据此对模型参数进行了合理修正,从而建立出完整的岩石损伤本构模型,与试验结果比较显示了所建模型的正确性。

1 损伤本构模型的建立

1.1 损伤本构模型及损伤变量

利用Lemaitre应变等价性假说,建立岩石损伤本构关系如下[1-2]:

式中[σ*]—有效应力矩阵;[σ]—名义应力矩阵;[E]—岩石材料弹性矩阵;[ε]—应变矩阵;D—岩石损伤变量。

假定破坏前岩石微元服从虎克定律,即微元具有线弹性性质。

由式(1)、式(2)得

假设岩石微元破坏概率随岩石微元强度F的分布密度为P[F],定义损伤变量为[3]。

1.2 岩石微元强度

岩石微元强度的确定是建立损伤演化本构方程的关键。Mohr准则是岩石在各种应力状态下强度特征的真实逼近,它能较准确地反映岩石的强度条件。为了应用方便,常采用各种不同形式的曲线来逼近试验结果所作出的Mohr包络线,抛物线是常见的一种。

二次抛物线型Mohr准则的一般方程为[8]

利用主应力表示的二次抛物线型Mohr准则,选择材料的抗剪强度为随机变量,重新定义岩石微元强度F

由式(1)、式(3)得

1.3 岩石损伤演化方程

岩石内部含有大量复杂分布的缺陷,在变形的过程中,这些缺陷将进一步劣化,这个过程用损伤演化来描述。以往的研究[1～6]均采用Weibull分布或正态分布作为岩石微元强度的概率模型,取得了较好的效果。张明[9]通过对岩石类材料破坏过程分析中采用的Weibull分布、正态分布、类Weibull分布所作的讨论和剖析,建议在准脆性材料损伤分析中采用对数正态分布,并建立了采用对数正态分布时的一维弹性损伤模型。

利用对数正态分布表示岩石微元强度的概率模型为

式中F0、S0—对数正态分布参数。

由式(4)和式(8)可得岩石损伤演化方程为

对岩石微元强度与正态分布变量进行线性拟合可求得模型参数F0、S0的值,代入式(3)和式(9)即可得到三轴压缩条件下的岩石损伤本构模型。

2 模型修正

按上述方法建立的模型,只是某一特定围压下岩石本构关系的反映,无法模拟不同围压下多条试验曲线的综合情况,为使建立的模型更具一般性,有必要对模型进行修正。

分析模型参数F0,S0与围压σ3的关系,分别以模型参数F0,S0为纵坐标,围压σ3为横坐标,由此得到F0,S0与围压σ3的关系如图1所示。

对F0与围压进行拟合,可得如下方程

相关系数为0.997 5。

对S0与围压进行拟合,可得如下方程

相关系数为0.927 2。

由此,可求得任意围压下的模型参数值,代入式(3)和式(9)即可得到修正的岩石损伤本构模型。

3 试验验证

为了验证本文模型的正确性,引用文献[10]的岩石试验资料,其中:岩石弹性模量E=93.5 MPa,泊松比μ=0.2,取岩石抗拉强度H=10MPa,λ=30.7。按上述方法将求得的各级围压下的参数值代入式(3)和式(9)即可得到不同围压下岩石统计损伤本构模型,将其与试验曲线对比,结果见图2。

由图2可以看出,所建模型与试验曲线吻合良好,可以很好地模拟各级围压下岩石破裂过程的全应力应变关系,说明所建模型是正确的。同时,该模型真实地反映了岩石应变软化特性、岩石强度随围压变化等特性,能较好地模拟工程实际。

4 结论

利用经典的Mohr准则,得到岩石微元强度新的表示方法,结合损伤力学理论和统计强度理论,建立了三轴压缩条件下的岩石损伤本构模型。模型曲线与试验曲线吻合良好,可以灵活地模拟各级围压下岩石破裂过程的全应力应变关系,尤其是应变软化特性。模型形式简单,应用方便,接近工程实际。

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