P波作用下地下输流管道的动力响应分析

王铁成，王 卉

(1. 天津大学建筑工程学院，天津 300072；2. 天津市土木工程结构及新材料重点实验室，天津 300072)

随着我国工业的迅速发展，输流管道系统已经越来越广泛地应用于许多领域，关于输流管道振动问题已有一些方法和研究成果[1-6]．地下结构对地震波的波动散射问题，多年来一直是国内外颇引人注目的研究课题之一[7-8]，但对于地震波散射问题中地下输流管道的流固耦合研究还鲜见报道．为了揭示管道内流体对入射波散射特性的影响，本文采用波动解析复变函数法[9]，建立地下输流管道的流固耦联波函数，对地下输流管道的波动散射动力学方程进行求解，结合地下工程实例，研究地下输流管道在地震P波作用下引起的动应力集中问题，考虑管道内无黏结可压缩流体的作用，对入射波空间频率、入射角度及管道埋深等参数进行分析，针对给出的具体算例进行讨论．

1 理论分析

1.1 输流管道模型

如图1所示，平面P波沿垂直于管道轴向的任意方向入射到地下输流管道中．计算模型如图 2所示，稳态平面 P波以α角度入射，管道的中心坐标为(1x，1y)，中心到地表距离为h，管道半径为a，内孔半径为b；半空间自由地表采用外凸大圆弧近似方法[10]，大圆弧中心坐标为(2x，2y)，半径为l．

图1 地下输流管道模型Fig.1 Model of underground liquid-filled pipe

图2 地下输流管道计算模型Fig.2 Geometrical model of underground liquid-filled pipe

1.2 控制方程

为便于分析问题，将位移场转换成极坐标形式

式中θ为极轴r与x轴的夹角．极坐标下的应力场为

1.3 可压缩流体中的声波方程

设流体密度和压强变化是在常数背景下扰动，流体的运动方程可表示为

式中：ρ0为流体在扰动前的密度；p′为扰动压强；v为流体质点的运动速度；t为扰动时间．

式(12)即为流体质点运动速度的速度势满足的波动方程．与固体弹性动力方程比较，压强相当于应力，密度相当于应变，质点流速相当于位移．

1.4 入射波场的波函数

式中：P0为入射 P波势振幅；P1、P2为P波和 SV波的反射系数，其表达式分别为

1.5 管道内的驻波场波函数

当入射P波到达管道的表面时，由于入射波与管道表面的相互作用，一部分波反射和散射到周围介质中，还有一部分波透射到管道内部，透射到管道内的P波发生波型转换，在固体中以透射P波和透射转换SV波的形式存在，而透射到管内液体中的波型只有透射P波而无转换SV波．这样管道内的驻波场分别为固体驻波场和流体驻波场，其驻波场位移势函数可分别由Hankel函数的线性组合构成．

其中管道固体驻波位移势函数为

考虑管内流体性质为非黏性、可压缩流体，其位移势函数满足波动方程式(12)

式中 cl为流体中的纵波波速．

对于稳态情况，流体的位移势函数φ( x , y, t )要满足Helmholtz波动方程

式中：流体位移势函数φ与时间的依赖关系为 e-iωt(以下略去谐和因子 e-iωt)；kPl为入射波在流体中的波数，kPl=ω/cl．

局限在流体内的驻波只有纵波位移势而无剪切波位移势，在复坐标(z1)下管道内的流体驻波位移势函数用Bessel函数表示得

1.6 边界条件

在充满液体的管道中，管道应力受流体驻波影响．假设管道中的液体为非黏性可压缩流体，在管道和流体的接触面上，由于没有考虑液体的黏性，管道的环向位移 uθΙΙ可能与管内流体的环向位移 uθΙ不同．各边界条件分别为

2 算例与结果

引入边界条件，将各波场中的位移势函数代入式(4)～式(8)的位移场和应力场中，即可求得各待定系数，再由式(6)和式(7)得到管道内的径向和环向动应力集中系数[11]

设管道的等效弹性模量 E = 3 .0× 1 04MPa，泊松比v= 0 .3，管道内流体性质为水，体积弹性模量K= 2 .0× 1 03MPa．管道外壁半径为a，内壁半径为b，取无量纲管壁厚度 a / b = 1 .2，管道埋深为 h / b = 2 、12．定义无量纲空间频率η=2b/λ，该参数反映了地下输流管道的内径与岩土介质中的 SV波波长的比值．无量纲空间频率η取0.5、1.0和2.0．场地介质的动剪切模量取μ=700MPa，泊松比v=0.3，剪切波速cS= 5 00m/s．采用Fortran语言编制计算程序，截断有限项对其进行求解．

图3和图4给出了P波作用下，地下输流管道在不同埋深下的环向和径向动应力集中分布，图 3(a)和图 3(c)为管道内壁受入射 P波作用所产生的环向动应力集中分布，图 3(b)和图 3(d)为管道受内流的影响所产生的径向动应力集中分布．从环向应力分布图中可以看出，掠入射下浅埋管道的环向应力峰值较小，当入射波自管道下方垂直入射时，应力峰值对称分布于管道两侧，并出现较大的峰值点，埋深对掠入射下的峰值应力影响较大，而垂直入射下管道的峰值应力受埋深的影响较小．受管内流体作用，入射 P波对管道产生的径向动应力集中分布受入射空间频率的影响较大，在低频波作用下径向应力沿管周均匀分布，当频率增大时，管道内流体震荡影响了分布形态，埋深对掠入射下径向应力的影响大于垂直入射．

图5给出了P波入射，有液管道与无液管道的环向动应力集中分布的对比.由图 5可以看出，低频域下有液和无液管道的动应力集中峰值点较多，随着入射波空间频率的增加，应力集中程度呈衰减趋势；有液管道与无液管道的环向应力集中分布差别不明显，仅在低频入射下无液管道的应力峰值略高于有液管道，当空间频率增大时有液与无液管道的环向应力峰值基本相同，说明管内流体对管道的应力影响以径向为主．

图3 输流管道内壁的环向和径向动应力集中分布( / 2h b= )Fig.3 Distribution of loop and radial dynamic stress concentration in liquid-filled pipe( / 2h b= )

图4 输流管道内壁的环向和径向动应力集中分布( / 12h b= )Fig.4 Distribution of loop and radial dynamic stress concentration in liquid-filled pipe( / 12h b= )

图5 不同入射频率下有液和无液管道的环向动应力集中Fig.5 Loop dynamic stress concentration of pipe with and without liquid at different incident frequencies

3 结 语

本文采用复变函数法，研究了地下输流管道受地震P波作用引起的动应力集中问题，考虑了管道内无黏结可压缩流体的作用，分析了无量纲的入射空间频率、入射角度及管道埋深对地下输流管道动应力集中的影响．分析结果表明：管内流体对管道的动应力集中分布的影响以径向为主，在低频入射波作用下管内流体对管道的径向动应力集中沿管周呈均匀分布；频率增加，管内流体震荡明显增强，影响了管道的径向动应力集中的分布形态．管道埋深对输流管道动应力集中分布的影响在掠入射下较为明显，埋深越深，应力峰值越高．低频域下有液和无液管道的环向动应力集中峰值点较多，随着入射波频率的增加，应力集中程度呈衰减趋势．

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