平面铰链五杆机构的优化综合平衡

周世才，杨玉虎，沈 煜，沈兆光

(天津大学机械工程学院，天津 300072)

在高速机械中，运动构件要产生较大的惯性力和惯性力矩，机构给机座一个摆动力和一个摆动力矩，它们对机械的运转造成多方面的不良影响．要克服这些不良影响，就必须进行机构的平衡．

对于机构的平衡，按机构的平衡程度可分为完全平衡和部分平衡．机构的摆动力和摆动力矩的完全平衡是一种理想的平衡方案．Berkof[1]曾采用加配重和平衡齿轮，提出了一种可完全平衡四杆机构的摆动力和摆动力矩的方法，并指出虽然一般不能通过在机构内部加配重的方法来完全平衡摆动力矩，但可采用附加转动惯量的方式来实现．Feng[2-3]以含有移动副的四杆、五杆、六杆及八杆机构为研究对象，提出了一种实现摆动力和摆动力矩完全平衡的方法．杨廷力等[4]和 Esat等[5]也在连杆机构的摆动力和摆动力矩的完全平衡的一般理论研究方面做了大量工作．

由于摆动力和摆动力矩的完全平衡将会使机构结构过分复杂、惯性大幅增加，因而部分平衡仍是在工程中常用的方法．这类方法可大致分为两类：一类方法是在摆动力完全平衡的条件下，尽量减小摆动力矩[6-7]；另一类方法则是同时考虑摆动力、摆动力矩、输入转矩和运动副反力等指标的优化综合平衡[8]．这两类方法仅考虑系统输入激励而未计及系统自身动态性能的影响，减振效果往往并不明显．针对上述问题，Zhang等[9]以机座的振动响应为目标函数，研究了处于弹性机座上的机构平衡问题．Kochev等[10]采用机座的平均动能和平均势能分别衡量机座的振动水平和机座传递到地基上的力．文献[9-10]建立了配重与振动响应之间的关系，从而避免了平衡的盲目性．文献[11]采用凸规划的方法，对四杆机构进行平衡，该种方法收敛速度快、精度高，且能保证优化结果为全局最优点．

对于不同的应用场合，五杆机构需要采取不同的输入组合，因而其运动也不尽相同．针对这一问题，笔者以铰链五杆机构为对象，以机座平均动能、平均势能以及平均动能和平均势能之和为目标函数，采用文献[11]提出的凸规划方法，建立铰链五杆机构摆动力、摆动力矩优化综合平衡的理论模型，对一种同轴式五杆机构进行仿真计算．

1 理论模型

图 1为机座的三自由度振动模型．图中，杆 O1O2和杆 O3O4为主动杆，杆 O3O4绕原点 O4逆时针方向转动，杆 O1O2绕原点 O1逆时针方向转动，定义逆时针方向为角位移的正方向，机座与地基之间用弹簧系统k1、k2及 k3联接．

以平面内任意一点为原点建立固定坐标系xOy；以机座上任意一点为原点建立与机座固联的动坐标系 x5O5y5，当机构处于静止状态时坐标系 x5O5y5的横轴与坐标系xOy的横轴平行；分别以铰链点为原点建立横轴正方向与各杆重合的动坐标系 xiOiyi，i= 1 ,2,3,4．

图1 机座的三自由度振动模型Fig.1 Three-degree vibration model of frame

1.1 目标函数

建立机座的动力学模型时，为了规避数学处理过于复杂，对系统做如下假设：

(1)忽略各构件的弹性变形；各构件的质量和转动惯量远小于机座的质量和转动惯量；

(2)忽略各构件的运动与机座的振动响应的耦合．

基于以上假设，机座的振动表达式为

1.2 约束条件

由文献[11]可知，配重转动惯量满足

配重质量和位置的约束条件为

引入一个线性变量w及其相应的约束方程，根据文献[11]，将该机构的摆动力和摆动力矩的优化平衡问题转化为一个凸规划问题，其数学模型为

2 算 例

由于忽略各构件的运动与机座振动响应的耦合，因此可先假设机构附加在刚性机座上，通过机构的运动学分析计算出各构件的运动参数，然后再利用上述理论模型计算摆动力和摆动力矩，并对其进行优化综合平衡．

图2 同轴式五杆机构运动学模型Fig.2 Kinematic model of coaxial five-bar linkages

针对工程实际中常用的同轴式五杆机构进行优化综合平衡，如图2所示．设杆12OO绕原点1O以修正正弦运动规律逆时针方向间歇转动；杆 O3O4绕原点O4逆时针方向匀速转动．对应杆 O3O4回转一周，杆O1O2回转一周的同时，完成 6次间歇运动，其动停时间比为3∶1．

表1 配重约束条件Tab.1 Constrains of counterweight m

表2 机构参数Tab.2 Parameters of linkages

分别以机座的平均动能、平均势能、平均动能和平均势能之和为目标函数，对如表2所示的二自由度平面五杆机构进行摆动力和摆动力矩的优化综合平衡，分别得到各杆的配重参数，如表 3所示．为了说明平衡的效果，以平均动能为目标函数的情况为例，对应匀速杆回转一周，平衡前后机构的摆动力和摆动力矩、机座的振动响应分别如图3和图4所示．由图3可见，机构的摆动力和摆动力矩的幅值均有大幅降低；由图 4可见，机座的振动响应得到了明显的改善．

表3 配重参数Tab.3 Parameters of counterweight

图3 机构的摆动力和摆动力矩Fig.3 Shaking force and shaking moment of linkages

图4 机座的振动响应Fig.4 Vibration responses of frame

3 结 论

(1)在建立机座三自由度受迫振动模型的基础上，以平衡动能、平均势能以及平衡动能和平均势能之和为目标函数，建立了平面铰链五杆机构的摆动力和摆动力矩优化综合平衡的一般数学模型，并将该模型转化为凸规划相应的格式；文中方程的推导具有一般性，因而对该类机构的优化综合平衡具有一般意义.

(2)对一种同轴式五杆机构进行优化综合平衡，结果表明，平衡后的机构的摆动力和摆动力矩的幅值大幅降低，机座振动响应得到明显改善，从而验证了该方法的可行性．

［1］Berkof R S. Complete force and moment balancing of inline four-bar linkages[J].Mech Mach Theory，1973，8(3)：397-410.

［2］Feng G. Complete shaking force and shaking moment balancing of 26 types of four-，five-，and six-bar linkages with prismatic pairs[J].Mech Mach Theory，1990，25(2)：183-192.

［3］Feng G. Complete shaking force and shaking moment balancing of 17 types of eight-bar linkages only with revolute pairs[J].Mech Mach Theory，1991，26(2)：197-206.

［4］杨廷力，张 明. 平面连杆机构摆动力和摆动力矩完全平衡的一般理论[J]. 机械工程学报，1992，28(6)：99-102.

Yang Tingli，Zhang Ming. A theory of complete shaking force and shaking moment balance of planar linkages[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering，1992，28(6)：99-102(in Chinese).

［5］Esat I，Bahai H. A theory of complete force and moment balance of planar linkages mechanisms[J].Mech Mach Theory，1999，34(6)：903-922.

［6］Alici G，Shirinzadeh B. Optimum dynamic balancing of planar parallel manipulators based on sensitivity analysis[J].Mech Mach Theory，2006，41(12)：1520-1532.

［7］Arakelian V，Dahan M. Partial shaking moment balancing of fully balanced linkages[J].Mech Mach Theory，2001，36(11)：1241-1252.

［8］Demeulenaere B，Aertbelien E，Verschuure M，et al.Ultimate limits for counterweight balancing of crank rocker four-bar linkages[J].ASME，J Mech Des，2006，128(6)：1272-1284.

［9］Zhang S M，Chen J H. The optimum balance of shaking force and shaking moment of linkages[J].Mech Mach Theory，1995，30(4)：589-597.

［10］Kochev I S，Gurdev G. General criteria for optimum balancing of combined shaking force and shaking moment in planar linkages[J].Mech Mach Theory，1988，23(6)：481-489.

［11］Verschuure M，Demeulenaere B，Swevers J，et al.Counterweight balancing for machine frame vibration reduction：Design and robustness analysis [C] //Proceedings of ISMA．Leuven，Belgium，2006：3699-3713.

［12］Lofberg J. YALMIP：A toolbox for modeling and optimization in Matlab[C]//Proceedings of 2004 IEEE CCA/ISIC /CACSD．Taiwan，China，2004：284-289.