具有平方反比势的非齐次非线性Schrödinger方程驻波的强不稳定性

李玉林，黄 娟，周 凡

（四川师范大学数学科学学院，四川成都610066）

本文研究如下具有平方反比势的非齐次非线性 Schrödinger方程

当a＝0时，方程（1）是三次非齐次非线性Schrödinger方程.Guzmán［1］根据 Strichartz 估计的收缩映射原理［2］在空间H1（RN）中，得到该方程解的局部适定性.在2016年，Farah［3］利用Weinstein［4］相似的方法得到该方程的一个整体解，并且获得了方程的最佳Gagliardo-Nirenberg不等式.随后，Dinh［5］得到了径向初始值的爆破解.

当b＝0时，方程（1）是三次具有平方反比势的非线性 Schrödinger方程，Killip 等［6］同时在空间H1（R3）中得到其解的局部适定性，通过文献［7-8］相似的方法，建立了方程（1）的一个解在有限时间爆破和解散射的门槛条件.Killip等［9］在空间H1（Ω）中，得到该方程具有Dirichlet边界条件的整体解和散射解.最近，Bensouilah等［10］得到了径向基态驻波的强不稳定性.

综上，可以看到对于a＝0或者b＝0的非线性Schrödinger方程驻波解的稳定性的研究已有一些结果，但对于a≠0且b≠0时，现有文献并未发现有对其驻波解稳定性的研究.因此，本文致力于研究这类带平方反比势的非齐次非线性Schrödinger方程驻波的强不稳定性.同时，方程（1）把非线性项推广到更加一般的情况，这是吸引我们研究该问题的又一原因.

1 预备知识

2 爆破解的存在性

注2.1当a＝0时，在文献［13］中，得到方程（1）关于初值u0的解u在有限时间内爆破，这正好与定理2.1的结论吻合.

注2.2事实上，当b＝0时，定理2.1也成立，这也正是文献［14］中的结论.

3 驻波的强不稳定性

下面讨论方程（1）驻波解的强不稳定性.从（9）式的变分问题和最佳Gagliardo-Nirenberg不等式得到方程（1）驻波解u（t，x）＝eitQ（x）的存在性，其中Q（x）是方程（4）的一个基态解.

定义3.1如果对任意δ＞0，存在u0∈H1（R3），使得‖u0-Q‖H1＜δ，并且方程（1）关于初值u0的解u必须在有限时间内爆破，即对于T＞0，使得，则称驻波解u（t，x）＝eitQ（x）在空间H1（R3）中是强不稳定的.

定理3.1对于，0≤b＜1，方程（1）的驻波解u（t，x）＝eitQ（x）是强不稳定的.

证明从文献［15］和命题2.1的证明知，当u∈H1（R3）＼｛0｝，有S（u）＝0或R（u）＝0.那么对于任意μ＞1，得到S（μu）＜0，R（μu）＜0.一方面，对任意δ＞0，存在μ＞1，使得‖μQ-Q‖H1＜δ.另一方面，对任意μ＞1，有I（μQ）＜I（Q），S（μQ）＜S（Q）＝0和R（μQ）＜R（Q）＝0.因此，μQ∈K.因为Q是方程（4）的解，并在无穷远处呈指数衰减，取u0＝μQ.因此，驻波解u（t，x）＝eitQ（x）在空间H1（R3）中是强不稳定的.

注3.1当a＝0时，由定理3.1知，方程（1）的驻波解u（t，x）＝eitQ（x）在空间H1（R3）中是强不稳定的，这与文献［13］结论一致.

注3.2事实上，当b＝0时，也可以得到同样的结论：方程（1）的驻波解u（t，x）＝eitQ（x）在空间H1（R3）中是强不稳定的，这与定理3.1的结论保持一致.

4 附录