点线对称常见问题举例

徐泽贵

在高中课程中常常出现有关点、线对称的问题,此类问题主要涉及中点,垂直、夹角等相关知识点,利用“数形结合”来分析,此类问题就可迎刃而解,现举例如下。

1 点与点关于点对称问题

例:已知点A(1、2)、点B(5、-3),求A点关于点B的对称点。

解:设A点关于点B对称点A的坐标为(x、y)

由中点坐标公式得:

5=1+x2

-3=2+y2∴

x=9y=-8

∴所求点的坐标为(9、-8)

2 点与点关于线对称问题

例:已知点P(1、-2),直线L:3x-2y+1=0。求点P关于直线L的对称点。

分析:事实上直线L是点P与对点P的对称点的中垂线,解题时抓住中点在直线上,和直线L和线段垂直即可解答。

解:设点P关于L对称点为P1(x、y)

根据题意得:y+2x-1=-23

3xy+12-2×-2+y2+1=0

解得x=-3513y=613

∴所求对称点的坐标为(-3513,613)

3 线与线线关于点对称

例:已知直线L:x+y-1=0,求直线L关于点P(2,3)对称的直线方程。

分析:线与线关于点对称,则线与线平行,且点到线的距离相等。

解:设所求直线方程为:x+y+c=0

|2+3-1|12+12 = |2+3+c| 12+12

C1=-1(舍去) C2=-9

∴所示直线方程为:x+y-9=0

4 线与线关于线对称问题

例:已知直线L1:x+y+3=0,L2:x+y-8=0,求L2关于L1对称的直线方程

分析:由题意结合图形可知L1∥L2,则所求对称直线与L1、L2平行,且相隔距离相等。

解:设L2关于L1对称的直线方程为:x+y+c=0

根据题意得:

|3+8|12+12 =|3-c|12+12

C1=-8(舍去)C2=14

∴所求直线方程为:x+y+14=0

例:已知直线L1:2x+y+1=0,L2:x-y+5=0,求L1关于L2对称的直线方程

解:由2x+y+1=0X-y+5=0

得交点坐标为(-2,3)

设所求直线的斜率为k,由直线的夹角公式得:

1+21-2=k-11+k

K=-2(舍去),K=-12

y-3=-12(x+2),即:x+2y-2=0

∴所示直线方程为:x+2y-2=0

在解答有对称问题时,一定要借助“形”来直观分析,再抓住相关知识点(角、点、垂直等)关系来求解。

收稿日期:2009-06-25