因式分解拾趣

赵国瑞

一、台上三分钟，台下三年功

在一次国际数学报告会上，大家要求美国著名数学家科尔作报告．科尔也不谦让，阔步走上讲台．坐在台下的数学家等待着听他的宏篇伟论．

不料，科尔一言不发，他对大家点头示意后，便转过身去，用粉笔在黑板上写了两个算式．第一个式子是267－1＝147 573 952 589 676 412 927，第二个式子是193707721×761838257287．

接着，他把后一个式子的两个数相乘，使台下的数学家们看到它们的乘积就是前一个式子的得数．于是，他在这两个式子之间划上了等号，使之变成：267－1＝147573952589676412927＝193707721×761838257287．

随后，他放下粉笔，又向大家示意，之后便离开了讲台．整个过程仅花费了三分钟，他始终没有说半句话．

可是，当他离开讲台后，本来鸦雀无声的会场顿时爆发出经久不息的掌声．为什么呢？因为科尔的这两个算式已经向全世界宣布，他已经攻克了一道数学难题：证明267－1不是质数．

后来有人问科尔：“您为证明这个难题，总共花去多长时间？”他回答说：“我花去了三年之内的全部星期天！”

成功仅仅几分钟，而获得成功所进行的努力，却是漫长而艰苦的．只有坚持不懈，努力拼搏，才有获得成功的希望！

二、欧拉巧用分解因式

大数学家欧拉出生于瑞士的巴塞尔．因父亲带他到数学家贝努利家里去，他的数学才能才得以被贝努利发现．他13岁就上了大学，16岁读完硕士，并由丹尼尔保荐到俄国圣彼得堡科学院任客座教授．他在那里度过了14个寒暑．

1729年，22岁的欧拉收到德国数学家哥德巴赫写来的一封信，信中有这么一段：

你知道费马在一本书中提出的一个质数表达式吗？就是“一切形如22n－1＋1（n是自然数，n≥1）的数都是质数”．费马本人说这是证明不了的．据我所知，迄今还没有人能证明它．虽然如此，人们还是相信这个结论……

费马（17世纪法国数学家）曾进行如下验算：

当n＝1时，22n－1＋1＝220＋1＝2＋1＝3；

当n＝2时，22n－1＋1＝22＋1＝5；

当n＝3时，22n－1＋1＝222＋1＝24＋1＝17；

当n＝4时，22n－1＋1＝223＋1＝28＋1＝257；

当n＝5时，22n－1＋1＝224＋1＝216＋1＝65537．

其结果都是质数．但是n取任意自然数时情况又会怎样呢？欧拉对这个问题深思起来：逐一验算，不可能．要推翻这个质数公式，又从何处着手呢？

欧拉对n＝6时的情况进行了研究：

22n－1＋1＝225＋1＝232＋1＝（2×27）4＋1＝24×1284＋1

＝（1＋15）×1284＋1

＝［1＋5（128－125）］×1284＋1

＝（1＋5×128）×1284＋1－54×1284

＝（1＋5×128）×1284＋（1＋52×1282）（1＋5×128）（1－5×128）

＝（1＋5×128）［1284＋（1＋52×1282）（1－5×128）］

＝641×6700417．

这里，欧拉一改烦琐的传统计算方法，用了很不起眼的分解因式法给出了一个惊人答案——形如22n－1＋1（n是自然数，n≥1）的数不一定是质数，从而推翻了费马的猜想．此后，人们把一切形如22n－1＋1（n是自然数，n≥1）的数称为“费马数”．数学家们借助于欧拉的方法又发现了45个费马数不是质数．但费马数中究竟有几个质数、几个合数，至今仍是一个诱人的谜．

欧拉巧用分解因式推翻费马猜想这一数学史上的佳话告诉我们：数学上许多难题的解决，应用的都是一些很基础的知识．因此，我们每个同学都要重视基础知识的学习，基本技能、技巧的掌握，基本思想方法的运用．

亲爱的同学们，读完了上面的两个故事，你有什么启发吗？数学家欧拉巧用分解因式的方法证明了225＋1不是质数，而数学家科尔几乎是用实验的方法证明了267－1不是质数．你能用欧拉的方法证明267－1不是质数吗？大胆试试吧，相信自己！

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