建不等式模型解中考题

殷菊桥

现实世界中不等关系是普遍存在的，所以建立不等式模型解应用题是中考的重要考点之一．解这类问题，要认真分析题意，抓住关键词，列出不等式（组）．

一、构建不等式模型

例1 某初中举行“八荣八耻”知识抢答赛，总共50道抢答题．抢答规定：抢答对1题得3分，抢答错1题扣1分，不抢答得0分．小军参加了抢答比赛，只抢答了其中的20道题．要使最后得分不少于50分，则小军至少要答对几道题？

思考：“50道抢答题”中的“50”对解题有没有用？抢答的20道题中，答对了几道题，答错了几道题？用x表示答对的题数，则小军的得分怎么表示？

解：设小军答对x道题，依题意得：3x－（20－x）≥50．解得：x≥17．

∵x为正整数，∴x的最小值为18．

∴小军至少要答对18道题．

点评：本题以“八荣八耻” 知识抢答为背景，考查构建不等式解决实际问题的能力．抓住关键词“不少于”，即“大于或等于”，可列不等式．考虑到“至少”，x应取满足条件的最小正整数．

例2 小杰到学校食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多（设为a人，a＞8），就站在A窗口队伍的后面排队．过了2 min，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人.

（1） 此时，若小杰继续在A窗口队伍排队，则他到达A窗口所花的时间是多少（用含a的代数式表示）？

（2） 此时，若小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口队伍后面重新排队，且到达B窗口所花的时间比继续在A窗口队伍排队到达A窗口所花的时间少，求a的取值范围（不考虑其他因素）．

思考：（1）在A窗口队伍时，过了2 min，小杰前面还剩多少人？A窗口每分钟有几人买了饭离开队伍？他到达A窗口所花的时间怎样用含a的代数式表示？（2）当小杰在A窗口队伍排队2 min时，B窗口队伍有多少人？B窗口每分钟有几人买了饭离开队伍？他到达B窗口所花的时间又该怎么表示？“到达B窗口所花的时间比继续在A窗口队伍排队到达A窗口所花的时间少”用式子应该怎么表达？

解：（1）他继续在A窗口队伍排队所花的时间为＝（min）．

（2）由题意，得＞，解得a＞20．

所以a的取值范围为a＞20．

点评：本题情景就发生在学生生活之中，涉及他们生活中的实际．读懂题意，根据转移到B窗口队伍后面重新排队，所花的时间比在A窗口队伍排队所花的时间少，可建立不等式 ．

二、构建不等式组模型

例3 为节约用电，某学校在本学期初制定了详细的用电计划．如果实际每天比计划多用2度电，那么本学期的用电量将会超过2 990度；如果实际每天比计划节约2度电，那么本学期的用电量将不超过2 600度．若本学期的用电时间按130天计算，那么学校原计划每天的用电量的范围是多少？

思考：设学校原计划每天用电为x度．如果实际每天比计划多用2度电，那么用电量怎么表示？它与2 990度有何关系？如果实际每天比计划节约2度电，那么用电量又怎么表示？它与2 600度有何关系？

解：设学校原计划每天用电为x度．

依题意得130（x＋2）＞2990，

130（x－2）≤2600． 解得21＜x≤22．

即学校原计划每天的用电量在21度（不包括21度）和22度之间．

点评：本题以节约用电为背景，对学生建立不等式组模型的能力进行考查．抓住关键词“超过”、“不超过”可构建不等式组．

例4 深受海内外关注的沪杭磁悬浮交通项目已获得国务院批准.沪杭磁悬浮线建成后，分为中心城区段与郊区段两部分，其中中心城区段的长度为60 km，占全程的40％.沪杭磁悬浮列车的票价标准预定为每千米0．65～0．75元，请你估计沪杭磁悬浮列车全程票价的范围．

解：总长度为60÷40％＝150 （km）．

设全程票价为x元，那么，

150×0．65≤x≤150×0．75．

解得97．5≤x≤112．5．

即全程票价的范围是97．5元～112．5元．

点评：本题以沪杭磁悬浮列车的票价为背景，考查数学应用的意识．首先要求出全程长度，再根据票价标准的预定范围列不等式组，于是可以估计全程票价的范围．

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文