分解因式中考风向标

葛余常

近年来，全国各地的中考试题可谓百家争鸣、百花齐放.创新题型蓬勃兴起，一道道亮丽的风景令人耳目一新，给中考注入了新的活力.有关分解因式的创新题目也是令人目不暇接.它的背景更丰富、更贴近学生的生活实际.认真分析和研究这些试题，有助于更好地把握中考命题的方向．

一、屡见不鲜的开放题

例1把4x2＋1加上一个单项式，使其成为一个完全平方式．请你写出所有符合条件的单项式．

解析：根据完全平方公式a2±2ab＋b2＝ （a±b）2的特点，若4x2＋1表示了a2＋b2的话，则有a＝2x，b＝1，所以，缺少的一项为±2ab＝±2·（2x）·1＝±4x．此时，4x2＋1±4x＝（2x±1）2．如果认为4x2＋1表示了2ab＋b2的话，则有a＝2x2，b＝1，所以，缺少的一项为a2＝（2x2）2＝ 4x4，此时，4x4＋4x2＋1＝（2x2＋1）2．

从另外一个角度考虑，“一个完全平方式”既可以是上面所提到的多项式，也可以是单项式． 注意到4x2＝（2x）2，1＝12，所以，保留二项式4x2＋1中的任何一项，都是“一个完全平方式”，故所加单项式还可以是－1或者－4x2，此时有4x2＋1－1＝4x2＝（2x）2或者4x2＋1－4x2＝12．

综上分析可知，所加上的单项式可以是±4x，4x4，－1或－4x2.

二、设计新颖的基础题

例2在日常生活中，如取款、上网等都需要密码．有一种用“分解因式法”产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4－y4，分解因式的结果是（x－y）（x＋y）（x2＋y2），若取x＝9，y＝9，则各个因式的值是x－y＝0，x＋y＝18，x2＋y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x3－xy2，取x＝10，y＝10，用上述方法产生的密码是 （写出一个即可）．

解析：这是一道考查同学们阅读理解能力的试题．题设规定了一种产生密码的方法，读懂题意是正确解题的关键.先将多项式4x3－xy2分解因式，得x（4x2－y2）＝x（2x＋y）（2x－y），再将x＝10，y＝10代入该式中的各个因式，得x＝10，2x＋y＝30，2x－y＝10，于是密码可为103010或101030或301010.

这种题目设计比较新颖，也能引起学生的好奇心，让学生感受到生活处处皆学问．

三、正在加强的操作题

例3如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形．利用这两个图形阴影部分面积的关系，可以验证公式．

解析：如何展示一个代数恒等式的几何意义，如何从一个图形中挖掘提炼一个抽象的代数恒等式，成为近年中考命题的一大亮点．事实上，利用面积的割补原理，图1（1）表示的是a2－b2，图1（2）表示的是（a＋b）（a－b），两者面积相等，所以可列出a2－b2＝（a＋b）（a－b）．

例4如图2，现有矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次）拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙），使拼出的矩形面积为2a2＋5ab＋2b2，并指出此矩形的长和宽.

解析：本题是一道符合新课标要求的好题.它既考查了数形结合的数学思想，又考查了学生动手操作的能力.先将多项式2a2＋5ab＋2b2分解因式，其结果为 2a2＋5ab＋2b2＝（2a＋b）（a＋2b），因此在操作中，应分别选用a×a、a×b、b×b的纸片2块、5块、2块，从而能拼出长和宽分别为a＋2b，2a＋b的矩形.本题答案不唯一，如图3所示．

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文