不等式组、一次函数联姻定最值

刘　顿

不等式组与一次函数联姻的试题是中考中的常见题型．此类题意在考查同学们综合运用知识的能力和解决实际应用问题的能力．求解这类联姻试题的关键，是根据题意找出数量间的不等和相等的关系，列出相应的不等式组和建立一次函数的表达式．然后利用不等式，确定取值范围，运用一次函数的性质求解．为了方便同学们学习，现以2007年全国部分省市的中考试题为例加以说明．

一、成本最低

例1 （青岛）某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示．现用甲原料和乙原料各2 800 g进行试生产，计划生产A、B两种饮料共100瓶．设生产A种饮料x瓶，解答下列问题．

（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程．

（2）如果A种饮料每瓶的成本为2．60元，B种饮料每瓶的成本为2．80元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与x之间的关系式，并说明x取何值时会使成本总额最低．

解：略．请参见本期第25页．

二、费用最少

例2 （眉山）某县响应“建设环保节约型社会”的号召，决定资助部分村镇修建一批沼气池，使农民用到经济、环保的沼气能源．幸福村共有264户村民，政府补助村里34万元，不足的资金由村民集资．修建A型、B型沼气池共20个．两种型号沼气池的修建费用、可供使用户数、修建用地情况如下表．

政府相关部门批给该村沼气池修建用地708 m2．设修建A型沼气池x个，修建两种型号沼气池共需费用y万元．

（1） 求y与x之间的函数关系式．

（2） 既不超过政府所批的修建沼气池用地面积，又使该村每户村民都用上沼气的修建方案有几种？

（3） 若平均每户村民集资700元，能否满足所需费用最少的修建方案？

分析：费用y应该等于A、B两种型号沼气池费用的和，从而可求得y与x之间的函数关系式；由于幸福村共有264户村民，而该村沼气池修建用地为708 m2，这样可以从表中获取信息列出不等式组，确定修建A、B两种型号沼气池的具体方案；可以利用一次函数的性质求出费用最少的修建方案．

解：（1）依题意，得y与x之间的函数关系式为y＝3x＋2（20－x）＝x＋40．

（2）由题意可得20x＋3（20－x）≥264，

48x＋6（20－x）≤708．解得x≥12，

x≤14．即不等式组的解集为12≤x≤14．

因为x是正整数，所以x可取的值为12，13，14．

所以有3种修建方案：①A型12个，B型8个；②A型13个，B型7个；③A型14个，B型6个．

（3）因为y＝x＋40，y随x的增大而增大，所以要使费用最少，则x＝12，最少费用为y＝x＋40＝12＋40＝52（万元）．

村民每户集资700元，与政府补助共计：700×264＋340 000＝

524 800（万元）．而524 800＞520 000，所以每户集资700元能满足所需费用最少的修建方案．

三、利润最大

例3 （河北）一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完61 000元的购机款．设购进A型手机x部，B型手机y部．三款手机的进价和预计售价如下表．

（1） 用含x、y的式子表示购进C型手机的数量．

（2） 求出y与x之间的函数关系式．

（3） 假设所购进的手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1 500元．

①求出预估利润P（元）与x（部）的函数关系式．（注：预估利润P＝预计销售总额－购机款－各种费用）

②求出P的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部．

分析：共有A型、B型、C型三款手机60部，其中A型手机x部，B型手机y部，所以容易求出C型手机的数量；由购机款61 000元，再依据表中的信息可求出y与x的函数关系式；进而求出P与x的函数关系式，再由每款手机至少要购进8部的条件列出不等式组，从而确定x的取值范围，并利用一次函数的性质求解．

解：（1） 因为某品牌的A型、B型、C型三款手机共有60部，所以用含x、y的式子表示，购进C型手机为（60－x－y）部．

（2） 由题意，得 900x＋1 200y＋1 100（60－x－y）＝ 61 000，整理得 y＝2x－50．

（3）①由题意，得 P＝1 200x＋1 600y＋1 300（60－x－y）－61 000－1 500，即P＝500x＋500．

②购进C型手机为60－x－y＝110－3x（部）．根据题意列不等式组，得

x≥8，

2x－50≥8，

110－3x≥8．

解得29≤x≤34．所以 x的取值范围为29≤x≤34，且x为整数．

因为P＝500x＋500，k＝500＞0，所以P随x的增大而增大．

所以当x取最大值34时，P有最大值，最大值为17 500．

此时，购进A型手机34部，B型手机18部，C型手机8部．

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文