不等式帮你来决策

林运蓉

新课程标准重视“运用所学知识解决简单的实际问题”的能力．近年来，各地中考试题中不断涌现出具有较强时代气息的应用性问题．本文仅就如何运用不等式知识进行决策，略举几例解析如下．

例1“中国荷藕之乡”扬州市宝应县有着丰富的荷藕资源．某荷藕加工企业已收购荷藕60 t．根据市场信息，如果对荷藕进行粗加工，每天可加工8 t，每吨可获利1 000元；如果进行精加工，每天可加工0．5 t，每吨可获利5 000元．由于受设备条件的限制，两种加工方式不能同时进行．

（1）设精加工的荷藕为x t，则粗加工的为 t，加工这批荷藕需要 天，可获利 元（用含x的代数式表示）．

（2）为了保鲜的需要，该企业必须在一个月（30天）内将这批荷藕全部加工完毕．精加工的吨数x在什么范围内时，该企业加工这批荷藕获利将不低于80 000元？

解析：（1）设精加工的为x t，则粗加工的为（60－x） t．精加工x t需2x天，粗加工（60－x） t需天，故加工这批荷藕共需天．精加工x t可获利5 000x元，粗加工（60－x） t可获利1 000（60－x）元，故共可获利（4 000x＋60 000）元．

（2）根据题意，可得不等式组：

≤30，

4 000x＋60 000≥80 000．

解这个不等式组，得5≤x≤12．即精加工的吨数x的范围应为5≤x≤12．

例2 五一黄金周期间，某学校计划组织385名师生租车旅游．现知道出租公司有42座和60座两种客车，42座客车的租金每辆为320元，60座客车的租金每辆为460元．

（1）若学校单独租用这两种车辆，各需多少钱？

（2）若学校同时租用这两种客车8辆（可以不坐满），而且要比单独租用一种车辆节省租金，请你帮助该学校选择一种最节省的租车方案．

解析：（1）若单独租用42座客车，需385÷42≈9．2（辆）． 取10辆，租金为320×10＝3 200（元）．

若单独租用60座客车，需385÷60≈6．4（辆）．取7辆，这时租金为460×7＝3 220（元）．

（2）设租用42座客车x辆，则租用60座客车（8－x）辆，由题意可得不等式组：

42x＋60（8－x）≥385，

320x＋460（8－x）≤3 200．

解之得：3≤x≤5．因为x取整数，所以x为4或5．

当x＝4时，租金为320×4＋460×（8－4）＝3 120（元）．

当x＝5时，租金为320×5＋460×（8－5）＝2 980（元）．

所以租用42座客车5辆，60座客车3辆时，租金最少．

例3 某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空调和电风扇．若购进8台空调和20台电风扇，需要资金17 400元；若购进10台空调和30台电风扇，需要资金22 500元．

（1）求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元．

（2）该经营业主计划购进这两种电器共70台，而可用于购买这两种电器的资金不超过30 000元．根据市场行情，销售1台这样的空调可获利200元， 销售1台这样的电风扇可获利30元．该业主希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不少于3 500元．试问：该经营业主有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？

解析：（1）设挂式空调每台的采购价为x元，电风扇每台的采购价为y元．

根据题意，得8x＋20y＝17 400，

10x＋30y＝22 500．解这个方程组得：x＝1 800，

y＝150．

即挂式空调每台的采购价为1800元，电风扇每台的采购价为150元．

（2）设该业主计划购进空调t台，则购进电风扇（70－t）台，根据题意可得不等式组：

1 800t＋150（70－t）≤30 000，

200t＋30（70－t）≥3 500．

解之得：8≤t≤11．因为t为整数，所以t＝9，10，11．

故有三种进货方案．方案一：购进空调9台，电风扇61台；方案二：购进空调10台，电风扇60台；方案三：购进空调11台，电风扇59台．

当这两种电器销售完时，方案一所获利润为200×9＋30×61＝3 630（元），方案二所获利润为200×10＋30×60＝3 800（元），方案三所获利润为200×11＋30×59＝3 970（元）．

所以选择第三种进货方案所获利润最大，最大利润为3 970元．

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文