方程与不等式的交融

孟　坤

在近几年的中考试题中，常见到需要把方程与不等式嫁接在一起来解决的实际问题． 这些应用题所给出的条件，除了含有等量关系外，还含有不等量关系，因此这样的题目就需要列出“混合式”来解答． 举例说明如下．

例1 将一箱苹果分给若干个小朋友．若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分不到8个苹果．求这箱苹果的个数与小朋友的人数．

解析：设有x个小朋友，y个苹果．

根据“每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果”，易知y＝5x＋12；由“每位小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分不到8个苹果”可知，8（x－1）≤y＜8x．

故由题意， 得 y＝5x＋12，①

8（x－1）≤y＜8x． ②

把①代入②，并转化成不等式组，得8（x－1）≤5x＋12，

5x＋12＜8x．

解这个不等式组，得4＜x≤．因为x为正整数，所以x＝5，6．

当x＝5时，5x＋12＝37；当x＝6时，5x＋12＝42．

∴当小朋友有5人时，这箱苹果有37个；当小朋友有6人时，这箱苹果有42个．

例2 为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通秩序．若每个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．则这个中学共选派值勤学生多少人？共有多少个交通路口安排值勤？

解析：设这个学校选派值勤学生x人，共到y个交通路口值勤．

根据条件“每个路口安排4人，那么还剩下78人”可知x－4y＝78；再由“若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人”易知4≤x－8（y－1）＜8．

故由题意，得x－4y＝78， ①

4≤x－8（y－1）＜8．②

将①代入②， 得4≤78＋4y－8（y－1）＜8，解得19．5＜y≤20．5．

根据实际意义，y应为整数，所以y＝20，此时x＝158．

∴学校派出的是158名学生，分到了20个交通路口安排值勤．

例3 一商场计划到计算器生产厂家购进A、B两种型号的计算器．经过商谈，A型计算器单价为50元，100只起售，超过100只的部分，每只优惠20％；B型计算器单价为22元，150只起售，超过l50只的部分，每只优惠2元．如果商场计划购进计算器的总数量既不少于700只，又不多于800只，且分别用于购买A、B这两种型号的计算器的金额相等，那么该商场至少需要准备多少资金？

解析：设购买A型计算器x只，购买B型计算器y只． 由于商场计划购进计算器的总数量既不少于700只，又不多于800只，所以700≤x＋y≤800． 根据“A型计算器单价为50元，100只起售，超过100只的部分，每只优惠20％”知，购买x只A型计算器需要资金［100×50＋（x－100）×50×（1－20％）］元；再由“B型计算器单价为22元，150只起售，超过l50只的部分，每只优惠2元”可知，购买y只B型计算器需要资金［150×22＋（y－150）×（22－2）］元．由于购买A、B这两种型号的计算器的金额相等，所以100×50＋（x－100）×50×（1－20％）＝150×22＋（y－150）×（22－2）．

故由题意，得

700≤x＋y≤800，

100×50＋（x－100）×50×（1－20％）＝150×22＋（y－150）×（22－2）．

整理，得700≤x＋y≤800，①

y＝2x＋35． ②

把②代入①，得700≤x＋（2x＋35）≤800，解得≤x≤255．

设该商场所需资金为P元，则P＝2［100×50＋（x－100）×50×（1－20％）］＝80x＋2 000．

因为x为整数，且P随x的增大而增大，所以当x＝222时，P取最小值，为19 760．

∴该商场至少需要准备资金19 760元．

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