基于“三个理解”的“一定是直角三角形吗”教学设计及思考

[摘" 要] 从“数学内部”提出问题，以数学现实的形式引入新课，培养学生的数学思维，为后续其他相关性质定理和判定定理的学习打下了坚实的基础. 而学生是课堂教学的主体，教师进行教学设计时应该多站在“学生的立场” 思考问题，本课例在一开始选择通过一组题目的形式，唤起学生对刚刚学习过的勾股定理知识的回忆，这是理解学生最直接的体现，同时对例题的变式也是理解教学的一种体现，通过对一道题目的“条件或图形”进行改编，起到“一题多变”和 “多变归一”的教学效果，使学生在问题解决过程中体验到数学学习的乐趣，从而提升数学学习的积极性和主动性.

[关键词] 直角三角形;理解数学;理解学生;理解教学

基金项目：山东省首批基础教育教研基地（学科类：初中数学）——初中数学作业设计的研究与实践、2022年东营市市级教学成果培育项目——“反思性作业”改革的探索与实践，2021年度东营市教育科学“十四五”规划课题“生态圈·反思链：‘双减’背景下初中学校‘反思性作业’的校本探索与实践”（145JGYB21002）和 “基于‘精思文化’引领的初中数学青年教师专业成长路径研究与实践”（145JGZX21008）.

作者简介：杨丽丽（1984—），硕士研究生，一级教师，从事课堂教学工作，曾获东营市青年骨干教师等荣誉称号.

近日，在一年一度的区教学视导活动中，笔者有幸作为学校代表执教鲁教版“一定是直角三角形吗”一课，得到了区教研室领导和听课教师的一致好评. 这节课是鲁教版七年级上册第三章第二节的内容，和大家熟知的人教版教材相比少了对勾股定理逆定理证明的环节，所以本定理在鲁教版中只能作为一个结论来运用，笔者在把握了编者意图的基础上结合学生学情，从章建跃教授提出的“三个理解”的角度进行设计，取得了预期的效果，下面以教学实录的形式进行呈现并给出简单评析，不当之处，敬请指正.

教学实录及简评

1. 回顾知识，疑点反思

问题：如图1，求出下列直角三角形中未知边的长度.

反思：解决上面的问题你用到了什么定理？

追问：如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？

设计意图 首先笔者通过两个练习（一个求直角边长，一个求斜边长）来复习勾股定理的内容，学生在回顾内容时，教师指出勾股定理的条件和结论，为后续引出课题做了铺垫. 类比平行线的性质和判定，笔者采用“数学现实”引入新课，即通过交换定理的条件和结论引出本节课的结论，与教材引入的方式一致. 这是一种研究问题的常见视角，为后续学习四边形的性质和判定打下坚实的基础.

2. 尝试解疑，问题反思

探究活动：请同学们利用手中的教具，完成下面的活动要求.

①3，4，5 " ②3，4，6

③4，5，6 "" ④5，12，13

四人为一组，每人选一组数据，按下面步骤完成计算、拼图、测量、猜想（时间5分钟）.

（1）算一算：算出两个较小数的平方和，和最大数的平方;看一看它们之间有什么样的大小关系;

（2）拼一拼：用教具拼出三条边组成的三角形;

（3）量一量：用直尺和量角器量出所拼三角形最大角的度数，并判断所拼三角形的形状;

（4）想一想：结合前三问，猜想一下，一个三角形各边满足怎样的数量关系式时，才是直角三角形？

设计意图 此环节是本节课的难点. 基于学情考虑，笔者选择引导学生利用教具动手操作拼装三角形. 在拼装过程中学生首先要解决边长的问题，利用教具拼出所需要的边长，再利用三角形定义，三边首尾相接，拼出自己所选的三角形. 学生以小组合作探究的形式，通过“算一算”“拼一拼”“量一量”“想一想”四个环节，利用学案和教具从“数”和“形”的角度，得到猜想. 同时也得到任意两边的平方和都不等于第三边的平方时，是锐角三角形或钝角三角形，这从反例让学生进一步明确猜想. 在探究活动中，要求学生做到动笔计算、动手操作、动脑思考（猜想）、动口表达，鼓励学生用数学的思维分析问题，会用数学的语言表述过程，培养表达能力，不仅让学生学到数学学习方法，也极大地考验了学生的应变能力和动手操作能力，符合新课程标准中对学生能力的考查，也锻炼了学生的核心素养，更能让学生体会到学习数学的乐趣，吸引更多学生回到课堂.

3. 揭示规律，达成反思

探究活动：学生利用几何画板，自己动手验证猜想的正确性，得到结论.

结论：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

符号语言： 如图2，在△ABC中，因为a2+b2=c2，所以△ABC为直角三角形，∠C是直角.

设计意图 此环节在教材“做一做”的基础上引导学生得出“结论”，此处鉴于鲁教版教材螺旋上升的编排理念，没有给出证明，因此不能称作勾股定理的逆定理，只能说是一个“结论”，教师通过几何画板这一工具进行辅助教学，并且让学生自己亲自操作，感受“数”和“形”的结合，感知几何直观，体现了数学的严谨性.

4. 解决问题，应用反思

例1" 判断由线段a，b，c组成的△ABC是不是直角三角形？

①a=3，b=4，c=5

②a=5，b=13，c=12

③a=10，b=8，c=6

④a=9，b=10，c=12

注意：利用“边”来判定直角三角形时，必须是两条短边的平方和等于最长边的平方（不看字母，看线段长短） .

例2" 一个零件的形状如图3所示. 按规定，这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图3所示，这个零件符合要求吗？

变式1：一个零件的形状如图4所示，这个零件中∠A为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图4所示，你能求出这个零件的面积吗？

变式2：一个零件的形状如图5所示，这个零件中∠A为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图5所示，你能求出这个零件的面积吗？

议一议：请同学们结合表格的内容反思勾股定理与本节课的结论有哪些联系？

设计意图 此环节内容较多，但也让学生明白学习数学知识就是要解决生活中的实际问题，体现知识的应用价值. 笔者首先设置一组练习，巩固本节课所学的结论，练习分为必做题和选做题，课时的分层教学解决学生客观存在的差异问题，体现因材施教. 在学生掌握方法的基础上，笔者以教材例题为母题，通过改变“设问方式”给出变式1，通过“改变图形”给出变式2，体现了例题习题改编的基本思路. 变式教学是我国数学教学的一大典型特点，在平时教学中，教师在领会课标的基础上，应重视教材中的例题、习题，因为它们具有典型性、示范性和可拓展性，以此作为蓝本进行适度有效的加工、改编和拓展，就能编制出更具实践性和操作性的教学探究问题，从而引领学生数学思维的提升，培养学生举一反三的能力，促进学生数学核心素养的发展.

5. 总结反思，达标检测

总结反思如图6，达标检测略.

设计意图 在本课的最后，小结通过追问“知识是怎么得到的”和“掌握的方法能解决什么问题”反思回顾本节课的学习过程，同时小结也为学生课后预习指明了思路，通过“在哪些方面有待加强”以及“我们还要学习什么”两个问题，引导学生反思本节课需要提高的地方，比如回答问题的积极性，解决问题的严密性等，同时也为学生后续学习奠定了基础，指向“学会学习”，在培育学生数学核心素养的同时，培育了中国学生发展核心素养，值得提倡.

几点思考

章建跃教授指出一线教师在进行教学设计时要做到“三个理解”：理解数学、理解学生、理解教学，下面从以上三个方面给出简单思考.

1. 理解数学

笔者认为理解数学就是基于“数学内部”的逻辑规律来提出问题和解决问题，因此本节课在开课之初就从“数学内部”提出问题，以数学现实的形式引入新课，培养学生的数学思维，为后续其他相关性质定理和判定定理的学习打下了坚实的基础.

除此之外，本节课在引领学生利用“结论”解决问题的过程中，既呈现了正例，又呈现了反例，增加了学生的认知，体现了数学思维和逻辑的严密性;同时执教教师还注意了引导学生在掌握图形语言和文字语言的基础上，强化学生对几何语言的认知和理解，以此体现数学语言的简洁性，培养学生的抽象思维和逻辑推理等核心素养.

2. 理解学生

学生是课堂教学的主体，教师进行教学设计时应该多站在“学生的立场”思考问题，真正体现学生在课堂教学中的主体地位. 比如，上述课例在一开始选择通过一组题目的形式，唤起学生对刚刚学习过的勾股定理知识的回忆，而不是仅仅单纯地以“镂空式”填空的形式来复习旧知识，这就是理解学生最直接的体现;除此之外，执教教师在“做一做”的设计环节，采用“拼一拼”的形式让学生构造已知三边长度的三角形，而不是通过“画一画”的形式来设计，此处也很好地体现了教师对学情的切实把握，在实际教学中节省了课堂时间，增加了学生的课堂参与度，提升了学生对相关知识的理解程度，起到了很好的预期效果.

3. 理解教学

教学有法，教无定法. 教师在教学中应该遵从一定的设计理念，以此提升课堂教学效率. 比如，执教教师通过明确的步骤和合作方式，引导学生以小组合作的形式完成“结论”的自我发现和自主探究过程，就充分体现了“让学生经历知识的发生和发展过程”的设计理念，做到了既“授之鱼”，又“授之渔”;此外，本节课对例题的变式也是理解教学的一种体现，执教教师力图在教学中通过对一道题目的“条件或图形”进行改编，起到“一题多变”和“多变归一”的教学效果，使学生在问题解决过程中体验到数学学习的乐趣，从而提升数学学习的积极性和主动性.

章建跃教授提出的“三个理解”博大精深，作为一线教师，我们以课例的形式进行积极实践，为争取实现“优质、高效、减负”的初中数学课堂教学而努力.