创新视角下研究型教学实践探究

摘" 要：在快速发展的新时代背景下，创新思维和创新能力成为当代青年大学生必备的基本素质之一。大学数学作为通识基础课程，亟需改革当前教学模式，激发学生的主观能动性，训练创新思维。该文主要通过深挖教材中基本概念和课程背景所蕴含的内在创新思想、实施多角度多方位的结论追问式研究型教学、训练不同方法不同思路的一题多解多变的发散性思维和基于开放性问题培养创新思维等途径，在大学数学教学过程中实施创新思维训练，有效培养学生的创新意识，提升他们的创新能力。

关键词：创新;大学数学;研究型教学;发散思维;教学改革

中图分类号：G642" " " 文献标志码：A" " " " " 文章编号：2096-000X（2025）05-0072-04

Abstract： Under the background of the new era of rapid development， innovative thinking and innovative ability have become one of the necessary basic qualities of contemporary young college students. As one of the basic courses， College Mathematics are urgently needed to reform the current teaching mode， stimulate students' subjective initiative and train innovative thinking. This paper mainly deep into the internal innovative ideas contained in the basic concepts and curriculum background in the teaching materials， implement multi angle and multi-directional conclusion inquiry research-based teaching， and train the divergent thinking of multiple solutions to one problem with different methods and ideas， and cultivate innovative thinking based on open questions. Through these ways， the innovative thinking training is carried out in the process of College Mathematics teaching in order to cultivate students' innovative consciousness and improve their innovative ability.

Keywords： innovation; College Mathematics; research-based teaching; divergent thinking; teaching reform

创新是一个民族发展进步的灵魂，是国家兴旺发达的动力。党的二十大报告明确提出科技是第一生产力、人才是第一资源、创新是第一动力，加强基础研究，突出原创，激励自由探索，加快实施创新驱动发展战略。国家“十四五”规划中也要求加强创新人才培养力度，加强创新创业教育，培养创新创业精神和能力。当代青年大学生的创新能力提升是国家创新能力提升的重要组成部分，高校作为国家培养高素质人才的摇篮，通过设计创新教育课程和“双创”项目，开展科研项目和社会实践，引导学生主动思考和提出问题、分析问题，培养解决问题的能力，培养学生的创新意识和创新思维[1-3]。

二十世纪以来，随着科学技术的发展和社会管理的进步，数学应用化的趋势越来越明显。传统的数学教学模式偏重于理论知识的传授，缺乏与实际应用的结合，亟需进行教学改革，将数学知识与实际应用相结合，使学生能够应对复杂的现实问题[4-7]。数学最能激起人们的自由创造本能，数学原理、数学方法是一切创造发明的基础，数学思维是科学创新的思维方法。大学数学基础课程，是财经类院校各专业培养过程中非常重要的系列公共基础课，对学生理性思维、创新能力与综合素养的培养起着十分重要的作用，是保障高校人才培养质量的重要环节。如何充分发挥大学数学在创新型人才培养中的作用，培养提升大学生的创新能力，一直是广大高校数学教育工作者持续研究关注的热点课题[8-14]。在日常教学中实施研究型教学方式培养创新思维，通过引导提问、课堂互动、项目学习等方式激发他们的创造力和自主学习能力，有助于学生的综合素质提升和未来发展，提升他们日后在各个领域的竞争力和适应能力。

一" 概念悟深悟透彻

在大学数学课程教材中，每一门课程的背后都蕴含着创新思维，每一个基本概念都是创新思维的成功硕果。大学数学的教与学本身就是一种创新活动的再现。每一部分内容的教与学，学生都要面对新问题，探索、发现、创新的过程就是解决问题的过程。其中所用到的无论是思维方式还是研究手段本身都是一个创新的过程。大学数学讲授的每一个概念，都蕴含着丰富的创新思维和创新理念，不仅能够拓宽我们对事物和现象的认知，还能够优化我们思考问题的方式和解决问题的策略。在引入新的概念时，可以提出与常规思维不同的问题，鼓励学生思考问题时不拘泥于传统的思维模式，寻找解决途径。也可以设计一些让学生自主思考和探索的问题，鼓励他们运用已学概念进行推理、建模和解决问题。这些问题可以涉及实际应用、跨学科领域或前沿研究，激发学生提出新的观点和方法。还可以引导学生探究概念的来龙去脉，理解概念的产生和发展背后的思维过程，思考其局限性和可能的改进方向，从而培养学生对既有概念的创新思维。将数学概念与实际问题相结合，让学生思考如何将数学方法应用到实际情境中解决问题。总之，通过深入挖掘概念的原创性和概念的应用性，激发学生的主观能动性，培养创新思维和创新能力，引导学生开辟出新的研究方向、探索新的应用领域，并为社会创造更多的价值和益处。

在讲授高等数学时，可引导学生了解高等数学的背景知识及其实际应用，如英国科学家牛顿的代表作《自然哲学的数学原理》，书中运用了大量的微积分知识并提出了著名的万有引力定律。讲授概率论与数理统计时，可介绍1997年两位诺贝尔经济学奖获得者——罗伯特·默顿和迈伦·斯克尔斯，他们利用统计学知识，创立和发展了经典的B-S期权定价模型。在讲授微积分中微分的概念时，教师可以提出这样的问题：“地球表面是一个近似球面，可为什么我们平常看到的却是平面呢？”这里蕴含着分割、近似和极限的思想，既帮助学生理解抽象数学概念，也开启了学生的创新意识。同时，在教学过程中，将理论知识与实际问题相结合，通过实际案例、模拟实验或者真实数据的分析，让学生亲身参与到数学问题的解决中，培养他们的实践创新能力。在概念的理解、运用上，做到数学与其他学科的交叉融合，例如将数学与计算机科学、物理学、经济学等结合起来，让学生在解决跨学科问题中发挥数学的作用，培养综合学科素养，夯实创新基础。

二" 结论多问多思考

问题是创新的起点，也是创新的动力源。在课堂教学时，引导学生批判性学习教材课本上的定理结论，激发学生的兴趣，鼓励学生多问几个为什么，让学生能从中感悟创新思维，培养创新能力。通过多问问题，促使学生深入思考，并获得更全面的信息和不同的观点，有助于形成较为全面准确的理解，并在得出结论时会考虑到各种因素。多思考意味着我们不仅仅接受表面上的事实和信息，还要思考其背后的原因、影响和可能的结果。这种深入思考可以帮助我们发现问题的本质，理解事物的内在逻辑，并从中得出有价值的结论，可以避免片面和肤浅的结论，提高问题解决的质量和创造性，有助于培养批判性思维、创新思维和问题解决能力，使我们能够更好地应对复杂的挑战。因此，多问多思考是培养深度思考和分析能力的关键，它能够帮助我们更好地理解问题和现象，并提出更准确、全面的结论。

例如，考察交错级数的莱布尼兹判别法结论：已知交错级数（-1）un （ungt;0）满足

①un≥un+1，②un=0，

则交错级数（-1）un收敛。

这个结论的逆否命题是什么？否命题和逆命题是什么？它们是否成立？抛出这些问题，充分发挥学生的课堂主体地位，调动学生的能动性，参与课堂教学。教师鼓励学生发散思维，提出异议，哪怕走入“误区”，相互提问，一起研究思考，证明正确的结论，对于不正确的结论找出相应的反例。比如：在考虑否命题时，就要鼓励学生找到两个否命题。

否命题1：已知交错级数（-1）un （ungt;0）满足：

①un不满足单调递减，②un=0，

则交错级数（-1）un发散。

否命题2：已知交错级数（-1）un （ungt;0）满足

①un≥un+1，②un不存在或存在但un≠0，

则交错级数（-1）un发散。

在教学过程中，通过课堂讨论、猜测、论证，然后得出否命题1结论是错误的，举出反例，如：考察交错级数（-1）un，其中

un=

，n=2k-1

，n=2k。

显然un不满足单调递减，运用数列极限的性质验证满足条件un=0，同时可以利用级数敛散性判别其一定绝对收敛，从而说明否命题1的不正确。此处鼓励学生发挥各自的发散性思维，围绕un不满足单调递减条件举出不同例子来验证否命题1的真伪性。

对于否命题2，引导学生回归级数的基本定义和性质，温故而知新，用反证法，可证结论的正确性，在掌握级数收敛的定义和性质基础上加强对解决具体问题能力的培养。对于同一个命题的否命题的正确与否判别，此例给出了很好的诠释，不仅加深了对原来交错级数的莱布尼兹判别法的理解，还培养了学生的批判性思维和创新思维。

三" 题目多解多推广

在数学课程的研究型教学过程中，体现比较明显的就是一题多解或者推广应用，促使学生从不同角度、不同层次分析问题，在巩固原来知识的基础上整合解决问题的思路和策略，训练拓宽思维空间。在遇到一些比较典型例题的时候，充分发挥一题多解，将知识体系进行关联、比较，升华知识体系的认知和重构，培养创新思维，锻炼创新能力。

例如，证明不等式：≥，a，b，c∈R。

证法1（分析法）：

≥⇔（a+b+c）3≥27abc

⇔（a+b+c）（a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc）≥27abc，

因为a2+b2+c2≥ab+ac+bc，所以有

上式成立⇐（a+b+c）（3ab+3ac+3bc）≥27abc

⇔（a+b+c）（ab+ac+bc）≥9abc

⇔a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b≥6abc

⇔a2b+c2b-2abc+a2c+b2c-2abc+b2a+c2a

⇔b（a-c）2+c（a-b）2+a（b-c）2≥0-2abc≥0，

因为a，b，c∈R，所以得证不等式成立。

不等式证明中，分析法比较常用。分析法可以帮助我们对不等式进行逻辑分析，找到不等式的关键点和特征，为证明提供线索和思路， 通过分析不等式中的元素和关系，可以选用适当的数学方法和工具，灵活运用各种运算规则、特殊技巧和变形方法，推导出结论的等价形式。一般用分析法得到证明思路，再用综合法进行证明。显然，这种初等证明方法容易理解掌握，但计算展开很复杂，不妨发散思维，运用函数构造法，利用函数的凹凸性来证明。

证法2（函数构造法）：构造函数f（x）=lnx，可以证明对数函数在其定义域内是凸函数，根据凸函数性质，对任意a，b，c∈R有

f（）≥，

也即ln≥。

利用对数性质化简，即可证得不等式

≥，a，b，c∈R成立。

证明完毕，可以进一步引导学生回顾复习凸函数的性质，运用发散性思维进行，将上述结论推广到有限个正数情形，从而更深刻领悟本次教学的知识目标，提高解决具体问题的能力，提升学生的创新意识和创新思维。

推广1：对任意ai∈R，i=1，2，…，n ，有

这就是著名的詹森（Jensen）不等式，高中常见不等式的推广，引导学生回顾高中时期的证明方法，将创新的思维扎根“基层”。

推广2：令ai=∈R，则由推广1，调和平均、几何平均和算术平均三者之间的连不等式关系

在此基础上，可以再次引导学生考虑加权平均，得到下列更一般的结论。

推广3：对任意正数λi，ai，i=1，…，n，且λi=1，有

f

λi ai≥λi f（ai），化简整理即得

式中：" " " " " " " " " " " 。同样也有

此推广结果，相对最初的不等式，有了更高层次的内涵。整个引导、分析的研究型教学过程也极大训练了学生的创新思维。

四" 开放问题多考察

开放性问题是创新的起点，也是创新的动力源。开放性问题没有明确答案或者可以有多种答案，与闭合性问题相比，开放性问题更加灵活，更具创造性。这种问题通常要求人们进行深入思考、调查研究、搜集信息和尝试不同的方法才能得出答案。开放性问题有助于培养人们的批判性思维、创造力和解决问题的能力。采取不同方式进行开放性问题的设计与考察，有助于打破传统的思维模式和定式观念，帮助学生更好地理解知识，应对复杂的挑战和问题，激发创造力和创新能力，激励学生在相互学习、相互竞技中勇于尝试新的想法、方法和途径，提升创新水平。

在设计章节测验或者作业的时候，设计开放性问题。简单的有章节思维导图，针对所学知识点进行对比，比如总结归纳一元函数的微分学和二元函数的微分学，对比高中平面解析几何和大学空间解析几何之间的差异。深入的有要求学生自主选择一个数学问题或现象进行探究和研究，需要提出假设、设计实验或调查方法，并通过数据和分析来回答问题或得出结论。我们也可以进行数学建模训练，将实际问题抽象为数学模型，并利用数学方法对其进行分析和求解，要求学生将数学原理和概念与实际应用相结合，并且能够运用数学工具解决实际问题。我们还可以进行科研项目探究，选择一个数学领域或专题进行深入研究，要求学生调查相关文献、分析数据、提出新的观点或解决新问题，并撰写研究报告，将研究成果进行系统的呈现。

数学类开放性问题主要体现在实际问题的项目研究，考核主要采取过程性考核，以学生解决特定问题的方案的优劣作为主要考核点，给学生的反馈也主要聚焦于学生的解决方案还可以如何进一步改进。一般的教学内容考核评价，主要是考察学生的计算、推理、记忆和应用能力，无法反映学生创新研究能力的进步。研究型教学过程中设置开放性问题，一般按照分组方式以项目形式布置，通过从实际问题出发、资料搜集整合、小组分析研讨，形成问题方案，培养训练学生自主学习、协同合作的能力和批判创新的思维。教师也要做好问题设计流程引导，引导学生从实际问题中抽象归纳学习，引导学生在特定问题下搜索和整合相关知识和信息的活动，对学生的学习及成果及时提供过程性反馈，为学生创设小组合作空间并做合作学习引导。

五" 结束语

创新思维不可能一蹴而就，而是需要一个循环渐进、不断实践训练养成的过程。以学生为主体、老师为主导的研究型教学，主要是以问题为导向，增强学生学习数学兴趣，调动学生学习数学的积极性和主动性，将显性的课堂教学和隐性的创新能力结合起来，引导学生进行创新思维训练，培养他们的创新意识和创新能力，成为新时代拔尖创新人才。

如何优化大学数学教学内容与创新思维训练之间的衔接，摆脱大学数学教学过程中创新思维训练的时间和空间束缚？这些都是我们正在努力的方向之一，准备以大学数学过程性评价为抓手，及时给予学生反馈，注重对学生的思维过程和解决问题的方法进行评估，引导他们不断完善和改进，培养自主学习和反思能力，充分发挥智慧教育平台的优势，利用计算机软件、数据分析工具等现代技术手段辅助教学，深化研究型教学改革实践。

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基金项目：江苏省高校智慧教育与教学数字化转型研究专项课题“新常态下基于超星泛雅平台的大学数学智慧教学模式探究”（2022ZHSZ57）;南京审计大学教改重点课题“国际化新商科高阶能力培养视角下高等数学教学改革研究与实践”（2020JG160）;南京审计大学国际联合审计学院课程建设“《高等数学》”（2020GJKC04）

第一作者简介：余宏旺（1977-），男，汉族，安徽桐城人，博士，副教授。研究方向为非线性系统控制。