普林斯顿拓扑学派

普林斯顿拓扑学派在美国甚至在世界上都是一个极具影响力的学派。普林斯顿数学学派在20世纪初快速崛起，20世纪30年代快速成长为美国数学界的新生代——普林斯顿大学数学系和普林斯顿高等研究院数学部，在拓扑学、代数学、数论、运筹学和博弈论方面做出了非凡的研究成果，可以媲美于欧洲数学，并持续到20世纪50年代。

新泽西学院的初衷是为基督教培养长老，不搞科研，1896年才改名为普林斯顿大学。1903年威尔逊出任大学校长，才重视起学术和科研。1933年普林斯顿高等研究院建立，独立于普林斯顿大学，但两个机构可以互使设备，也可以互加研讨会。高等研究院成立的头四年，组织了许多拓扑学活动，如莱夫谢茨和亚历山大共同主持拓扑学为期两年的讨论班等。莱夫谢茨和亚历山大带领拓扑学数学家逐步发展了普林斯顿拓扑学派。

普林斯顿拓扑学派的代表性人物

普林斯顿拓扑学派的奠基人——法恩。亨利·伯查德·法恩于1858年9月14日在宾夕法尼亚州的钱伯斯堡出生，其父亲去世较早，后为了他们的教育，一家人于1875年来到普林斯顿。法恩1876年进入新泽西学院，学习成绩一直名列前茅，于1880年以一等荣誉获得文学学士学位。霍尔斯特德于1875年毕业于普林斯顿大学，在约翰·霍普金斯大学师从西尔维斯特后，于1878年至1981年在普林斯顿大学担任“研究生数学讲师”。霍尔斯特德将他的热情传达给了一小部分本科生，尤其是法恩，因为法恩天生喜欢逻辑问题。

毕业后法恩留校曾担任实验科学研究员，但他对其不感兴趣。1881年到1884年他出任数学导师的职位。为了更好地进行数学研究，1884年他去莱比锡跟随克莱因学习，1885年获得了博士学位，同年的夏季学期去柏林听了克罗内克的讲座。

在短暂接触数学界的主流之后，法恩想把最先进的知识带回普林斯顿，于是他在普林斯顿大学担任助教，一直工作到1889年。在此期间，他在《美国数学杂志》上发表了几篇关于微分方程方面的文章：《论双曲率曲线的奇点》（1886年），1887年将其结果扩展到n维；《论微分方程定义的函数以及普伊塞多边形构造对这些方程的扩展》（1889年）；《常微分方程的奇异解》（1890年）。1889年法恩晋升为教授，1898年被任命为Dod数学教授，法恩也是美国数学会的创始人员。

在伍德罗·威尔逊管理普林斯顿大学期间，法恩是学院院长，法恩还身兼数学系主席、教务主任和科学系主任。在这段时间，法恩出版了著作《大学代数》《坐标几何》和《微积分》，这些都成了该大学的教科书。在威尔逊的推动下，1905年普林斯顿大学开始实行学前教育制度，以提供更小的班级和更个性化的教学。法恩是这一制度的坚定支持者。1900年，甚至在成为院长之前，法恩就邀请路德·法赫勒·艾森哈特加入了普林斯顿大学的教师队伍；1905年，维布伦和布利斯加入了法恩和艾森哈特的行列。韦德伯恩几年后从芝加哥来到了普林斯顿。布利斯回到芝加哥后伯克霍夫从1909年到1912年来到普林斯顿。法恩显然是想把芝加哥众多优秀博士中的佼佼者吸引到普林斯顿。在这群杰出的年轻数学家中，艾森哈特和维布伦给普林斯顿留下了最深远影响，使它成为一个伟大的几何和拓扑学中心。晚年的法恩抓住了另一个促进科学发展的机会，主要由于他的信任，普通教育委员会向普林斯顿大学提供了一百万美元用于纯科学研究，到1928年筹集了300万美元。可以说法恩是普林斯顿数学学派的元老级人物。

1928年12月21日法恩与世长辞，为了纪念他，普林斯顿大学数学系有一座以他名字命名的大楼——法恩楼。

普林斯顿拓扑学派的鼻祖——维布伦。奥斯瓦尔德·维布伦1880年６月25日在美国迪科拉市出生，是挪威后裔。后迁往爱荷华市，在那维布伦不仅完成了初等教育，还在1894年进入爱荷华州立大学学习，1898年毕业。1900年他又在哈佛大学取得第二个学位。

1905年法恩将维布伦收至普林斯顿大学麾下，在这一年维布伦发表了《非度量位置分析平面曲线理论》，首次严格证明了若尔当曲线定理。实际上，维布伦早在1905年证明若尔当曲线定理时就开始思考拓扑学的问题。1912年维布伦和亚历山大联合发表了论文“n维流形”。1916年维布伦受到美国数学会的邀请做讨论会的报告，他选择了位置分析这一主题。在美国数学会所做的６个报告中，维布伦发展了贝蒂数、挠系数、基本群的概念，并介绍了拓扑分类的问题。正是维布伦，数学家接触到了代数拓扑学的概念，该讨论会的报告1922年才成书《位置分析》出版。1931年，为了将微分几何建立在严格的基础上，美国数学家维布伦与学生怀特黑德在组合拓扑学方面首次以三组公理给出了微分流形的抽象内蕴定义。维布伦还培养了亚历山大，也招揽来了莱夫谢茨，在他们的努力下，普林斯顿一跃成为世界领先的拓扑学中心。

维布伦在普林斯顿大学教授数学27年，1930年协助筹建普林斯顿高等研究院，建成之后，1932年就留在了高等研究院，并且他是该院的第一位教授。研究院又吸纳亚历山大、爱因斯坦、冯·诺依曼、韦尔、莫尔斯等著名学者大家，使普林斯顿成为强大的学术中心。20世纪30年代至40年代，维布伦在安置欧洲移民数学家时也发挥了重要作用，促进了美国数学的繁荣发展。同时维布伦也是美国数学会的活跃成员，通过向普林斯顿大学和美国数学会筹集资金支持数学研究。

1960年8月10日在缅因州布鲁克林，维布伦与世长辞。美国数学会设立了维布伦几何奖以奖励在几何或是拓扑领域有杰出贡献的数学家。

普林斯顿拓扑学派的精英——亚历山大。亚历山大于1888年9月19日出生在新泽西州的海布莱特。亚历山大家境富裕，1906年在普林斯顿大学接受教育，师从维布伦，1910年获得学士学位，1911年取得硕士学位，1915年在格隆沃尔的指导下也获得了博士学位。

在1915年，亚历山大证明了三维流形M3的贝蒂数的拓扑不变性，同年也给出了同调的拓扑不变性一个证明。在流形的拓扑分类问题上，1919年，亚历山大举出了一个反例，两个棱镜空间同调及π1对应相等，但不同胚。20世纪20年代亚历山大对于纽结和环结的分类方面也做了大量工作。1922年著名的亚历山大对偶定理影响着同调理论的发展。1924年亚历山大发现的角球（面），其内部不再是一个球体，大大推动了这部分近20多年对低维拓扑学的发展。1926年对复合体的同调群的拓扑不变性做了新的证明。1928年利用基本群获得了分类纽结的亚历山大多项式。1935年参加了在莫斯科举办的国际拓扑学大会，提出了上同调的概念。亚历山大20世纪20年代都在普林斯顿大学，普林斯顿高等研究院建成之后，他成为了该研究所的教员，一直待在研究院直到退休。亚历山大是一位卓越的拓扑学家，是普林斯顿拓扑学派当之无愧的精英人员。

普林斯顿拓扑学派的中坚力量——莱夫谢茨。莱夫谢茨1884年9月3日出生在俄罗斯莫斯科，但从小待在法国。1902年至1905年，莱夫谢茨在巴黎中央艺术与制造学院接受工程师培训，1905年获得了“艺术与制造工程师”学位。同年又移居到美国，在鲍德温火车头工厂短暂工作些许时日，1907年到1910年在匹兹堡的西屋电气公司工作。不幸的是在1907年11月，一次实变压器爆炸事故烧毁了他的双手。正是这次变故，莱夫谢茨将工作重心转向了数学，通过自学成为了克拉克大学的研究生并与1911年取得数学博士学位。获得数学博士学位后，他又在中西部的大学获得一系列职位：内布拉斯加大学讲师、堪萨斯大学讲师、堪萨斯大学助理教授、堪萨斯大学副教授。1924年莱夫谢茨受邀来到普林斯顿，之后他的研究逐渐转向代数拓扑，和其他拓扑学家一起将普林斯顿建设成世界数学的中心。

在内布拉斯加大学和堪萨斯大学时，莱夫谢茨写了一系列关于拓扑学的文章，1921年发表在《美国数学学会会刊》的《关于代数变种的某些数值不变量及其在阿贝尔变种的应用》和1924年出版的专著《位置分析与代数几何》包含着这一时期的重要成果。1923年，莱夫谢茨发表了《流形的连续变换》，他发现一个用于研究流形的连续映射，特别是不动点问题的新方法。1926年，发表《复形和流形的交与变换》主要证明了无边界紧致可定向流形的不动点定理。1927年《带边界的流形的变换》把不动点理论扩展到了有边界流形。1929年，《拓扑学的对偶关系》不仅扩展了庞加莱的工作，并对已知的对偶关系证明进行了修正和一定程度上的扩展。1930年，莱夫谢茨和福莱克斯尼尔共同发表了《关于拓扑流形贝蒂数的对偶定理》，得到的莱夫谢茨对偶定理可以应用到组合流形连续变换的重合点和不动点问题上。莱夫谢茨在拓扑学方向也出版了著作《拓扑学》和《代数拓扑学》。

莱夫谢茨除了代数拓扑的非凡成就，在代数几何和微分方程也颇有建树。他对数学和普林斯顿大学的影响非常大，非常积极，也深刻影响了美国的数学。1972年10月5日莱夫谢茨患病逝世于普林斯顿。

普林斯顿拓扑学派的后起之秀——惠特尼。惠特尼1907年出生在纽约州。其父亲于1911年因病去世，母亲带着不满4岁的惠特尼搬到康涅狄格州的纽黑文生活。1921年母亲带着他和妹妹又转去瑞士定居。1923年惠特尼回到美国，次年进入耶鲁大学的物理系，1928年获得学士学位。出于对音乐的喜爱他又拿到了音乐学位。后来进入哈佛大学转学数学研究四色问题，师从伯克霍夫。关于这方面的研究，他在短短两年内连发10篇文章，1932年获得了博士学位，两年后受聘为哈佛大学助理教授。在哈佛的日子惠特尼大大发展了图论的研究，他对图论的最大贡献莫过于拟阵理论。又经过几何函数论研究的过渡，惠特尼最终决定研究拓扑学，以微分流形的内外蕴定义问题为核心。

1935年莫斯科的国际拓扑学大会上，惠特尼作的报告《微分流形》与《球面空间》，提出了将抽象微分流形“实现”为欧氏空间中子流形的两种方式：浸入与嵌入。这标志着微分拓扑学的开始，他还发明了单位分解的方法，修正了亚历山大和柯尔莫哥洛夫关于上同调定义中的错误。1937年，惠特尼用上同调的语言来构造斯蒂菲尔·惠特尼示性类。1940年他用ζ和W表示纤维丛和示性类。1940年在密歇根大学组织的拓扑学会议上，惠特尼的报告《微分流形的拓扑》对秩为1的纤维丛ζ1与ζ2给出了对偶定理的证明。同年，惠特尼将球面空间改称为球面丛，指出球面可以换成任意一个拓扑空间，在实质上建立起了纤维丛的概念。1944年运用纤维丛与示性类的工具成功证明了更强的嵌入定理，至此惠特尼足够担当起微分拓扑学的奠基人称号。

受到普林斯顿高等研究院奥本海默院长的邀请，1952年惠特尼来到研究院任职。1957年出版的著作《几何积分论》，用微分形式的积分刻画了上链、上边界等拓扑概念，系统地建立了几何积分论。

1965年惠特尼发表的“解析簇的切平面”证明了具有相关切平面性质的解析簇分层的存在性。1972年，惠特尼出版了第二本著作《复解析簇》。1977年惠特尼从普林斯顿高等研究院退休，惠特尼进一步拓展了拓扑学，促进了普林斯顿拓扑学派的繁荣发展。

不仅限于拓扑学领域，惠特尼还涉猎图论、几何积分、可微映射和奇点理论。1985年美国数学会授予惠特尼斯蒂尔奖，这是对他学术贡献的最好证明。1987年惠特尼在普林斯顿中风去世，享年84岁。

普林斯顿拓扑学派的发展不仅仅深刻影响着美国拓扑学甚至数学研究越来越丰富，同时也会推动其他各国数学的发展。

（作者单位：吉林师范大学数学与计算机学院）