从拓扑学到拓扑绝缘体

李瀚宇

摘 要 拓扑学起源于18世纪左右，是研究空间内在连续变化下维持不变性质的一门学科。拓扑学在生物、建筑、计算机等方面都有着广泛的应用。从20世纪60年代开始，拓扑学逐渐进入到物理学领域，在宇宙学、凝聚态等研究中发挥了重要的作用。2016年的诺贝尔物理学奖还特别地表彰了物质拓扑相与拓扑相变的发现。那么，什么是拓扑学？什么是物质的拓扑相与拓扑相变？它们两者又有着怎样的联系？本文将对这些问题做一个探析，来帮助我们更好地理解拓扑绝缘体等拓扑材料的科学价值，以及对于人类未来科技革新的重要意义。

关键词 拓扑学；拓扑相；拓扑绝缘体

中图分类号 O4 文献标识码 A 文章编号 2095-6363（2017）17-0042-01

2005年，一种奇特的材料——拓扑绝缘体的理论预言，激起了科学界的强烈兴趣。这种材料的特点是它的体内部是绝缘的，但是它的表面却表现得像一块金属。2007年，实验上首次确认了这种材料的存在，从而掀起了有关拓扑材料研究的热潮。以拓扑绝缘体为首的拓扑材料，在建设信息高速公路与量子计算方面有着重要的应用前景。本文将就拓扑学的历史背景、拓扑相与拓扑相变、拓扑绝缘体、拓扑材料的应用等方面做一个介绍，探究拓扑学与拓扑材料之间的联系。

1 拓扑学的背景简介

拓扑学最早的历史可以追溯到18世纪左右，在古普鲁士的哥尼斯堡有七座桥将四块陆地联系起来。七桥问题的提法是：能否从这四块陆地的一块出发，恰好经过每座桥一次然后回到起点？欧拉于1736年在《哥尼斯堡的七座桥》的论文中，首次回答了这个问题，并证明这是不可能的。数学家随后不断研究这类事例，包括多面体问题、四色问题等等，并逐渐形成了拓扑学这一学科。在人们的实际生活中，图形往往是重要的研究对象。在很多情况下，人们对于图形的形状和大小并不感兴趣，而是关注图形的相对位置关系等内禀的性质。拓扑学就是为解决这一问题而诞生的。

拓扑学的一个重要概念是拓扑等价。一个图形，如果可以通过连续的形变（包括伸缩或者扭曲）过渡到另一个图形，中间没有产生撕裂或者粘合，那么就称这两个图形是拓扑等价的。例如一个球体和一个正方体，本质上就是拓扑等价的，因而在拓扑学中把它们视为同一对象。为了刻画这种拓扑学内禀的性质，人们引入了拓扑数（拓扑不变量）的概念。在对象连续变化的过程中，拓扑数是不会变的。例如面包圈洞的个数就是一个拓扑数，在连续形变过程中洞的数目始终为1。面包圈不可能通过连续形变过渡到一个球，因此两者是拓扑不等价的，而本质上的区别就是两个图形的拓扑数不

一样。

2 相变与拓扑相变

一个系统中如果物质的结构相同、成分性能均一，则称这个系统是一个相。比如，根据物质的状态不同，可以分成固相、液相、气相或者等离子相。根据物质导电性能的不同，可以分成金属相、绝缘相或者超导相。当物质在外界参数（温度、压强、电磁场）变化下从一种相变为另一种相，则称这个过程为相变。例如，水从液态加温沸腾变成水蒸气就是一种相变；水银在低温下突然变成超导体，这也是一种相变。

对于物质材料，也可以类似于定义面包圈的洞数一样，去定义材料的拓扑数。这个拓扑数与材料分子间的相对构型与相互作用密切相关，并且，这个拓扑数与材料可观测的一些物理量（诸如电导）有着直接的对应。在物质发生相变的过程中，如果对应的拓扑数发生变化，从而导致物质性质发生变化，这种相变就被称为拓扑相变。它的本质是物质的某些离散对称性发生变化，使得物质的拓扑性质也跟着发生变化。

3 拓扑绝缘体

物质拓扑相与拓扑相变的一个重要实例就是拓扑绝缘体。在介绍拓扑绝缘体的性质之前，我们先回到一个经典的效应——霍尔效应。1879年，美国物理学家霍尔发现，把固体导体放在一个磁场中且有电流通过的时候，导体中的电载荷子会在洛倫兹力的作用下发生偏转，继而会产生一个霍尔电压。这种经典的物理图像在磁场足够强时会发生变化。这时，电子的回旋半径非常小，导体体内的电子基本局域在原处进行回旋运动。只有导体边上的电子会不断碰撞表面并沿着边螺旋前进。这时，导体的体内是绝缘的，而导电性主要来源于表面。材料这种奇异的导电特性一经发现，就立即引起了人们的兴趣。但在这里，需要强大的磁场来实现这种效应。科学家继而探究，在没有外加磁场的条件下，材料是否还能实现这种奇异的导电性。

拓扑绝缘体就是在这种背景下应运而生的。它的基本性质如前文所述：它的电子结构具有拓扑的性质，其中体内部的电子是绝缘的，而表面的电子是导电的。两种截然相反的性质统一地表现在一个材料的两个方面。值得注意的是，由于材料的表面总是存在的，因此不可能通过剥离将表面的导电层去除。特别的，拓扑绝缘体的表面属性是受到拓扑保护的，也就是说，它对于杂质的干扰是稳定的，除非体系的拓扑性质发生

变化。

4 拓扑材料的应用前景

拓扑绝缘体发现至今已过十载。在拓扑材料领域，拓扑绝缘体、拓扑超导体、拓扑半金属等等的研究正在如火如荼的展开。以拓扑绝缘体为例，它在未来的信息科技革命中具有重要的意义。传统金属导体材料，导电性能会受到内部杂质散射的影响，因此在电输运过程中往往有严重的耗散。拓扑绝缘体的表面态具有优良的导电特性，可以高度稳定、低耗散实现电子的传递。这对于建设高速度、大容量、多媒体的信息传输网络，具有极大价值。另外，拓扑绝缘体的表面电子能够以存储、传递、计算的方式完成一些量子操纵，这为实现以量子计算机为目标的新一代信息革命吹响了号角。

5 结论

拓扑材料领域在短短的10年间，取得了累累硕果。拓扑学在材料物理中的成功引入，提供了数学与物理完美结合的一个范例。以拓扑绝缘体为首的新一代拓扑材料，给我们未来新一代的信息革命提供了丰富的联想。相信在这一领域，还会诞生更多的

惊喜。

参考文献

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