例析解析几何中优化运算的基本策略

摘 要：通过八个角度对解析几何典型例题进行分析，展示如何抓住问题本质，根据运算对象特征，寻找简化几何运算的策略，减少解析几何解题的运算量，规避复杂的运算，提高解题效率，从而不断提高学生的运算能力，提升学生的运算素养.

关键词：解析几何;优化运算;基本策略

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）31-0010-09

收稿日期：2024-08-05

作者简介：李春林（1978.1—），男，甘肃省天水人，本科，从事高中数学教学研究.

基金项目：2023年甘肃省教育科学“十四五”规划课题“基于微专题思路的高三解析几何复习策略研究”（项目编号：GS[2023]GHB1025）.

解析几何问题一直是高考的热点和难点.此类问题涉及的知识面广，综合性强，运算量大，解题方法灵活多变，这使得许多考生在解题中会出现畏惧、耗时、无正确结果的“困境”^[1].即使某些学生探究到了解题思路，但因为纷繁复杂的运算而不得不放弃解答.所以，减少不必要的运算、灵活掌握优化运算的解题策略，是破解解析几何问题的关键一环.

1 优化运算的基本策略例析

1.1 回归定义，彰显本质

回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，这是一种朴素而又重要的策略和思想方法.圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点.对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果.

例1 （2023年天津模拟）已知B（-3，0）是圆A：（x-3）2＋y2＝16内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为.

解析 如图1，连接BD，由题意得|BD|＝|CD|.

则|BD|＋|DA|＝|CD|＋|DA|＝4gt;23＝|AB|.

由椭圆的定义可得动点D的轨迹为椭圆，

其焦点坐标为（±3，0），长半轴长为2.

故短半轴长为1.

故动点D的轨迹方程为x24＋y2＝1.

例2 （2023年长沙模拟）已知P为轨迹C：y2＝8x上的一动点，求点P到直线y＝x＋4和y轴的距离之和的最小值.

解析 如图2，设轨迹C的焦点为F，点P到直线y＝x＋4的距离为|PP1|，到y轴的距离为|PP2|，点F到直线y＝x＋4的距离为|FF1|.

由抛物线的定义，可知|PP2|＝|PF|-2.

所以|PP1|＋|PP2|＝|PP1|＋|PF|-2.

由图2可知|PP1|＋|PF|的最小值为点F到直线y＝x＋4的距离.

所以（|PP1|＋|PF|）min＝|FF1|＝61＋1＝32.

所以|PP1|＋|PP2|的最小值为32-2.

点评 定义是解决圆锥曲线问题的一把“金钥匙”.深刻理解三种圆锥曲线的定义，体会定义中各要素之间的关系，在解题中能够取得事半功倍的效果.利用定义可以实现圆锥曲线两焦点间的距离、焦点到准线距离的互化.

1.2 设而不求，整体把握

研究直线与圆锥曲线的位置关系时，常把两个曲线的方程联立，消去x（或y）建立一元二次方程，然后借助韦达定理（即根与系数的关系），结合题设条件建立有关参变量的等量关系，对于两曲线的交点坐标设而不求，从而优化运算.设而不求是解析几何解题的基本手段，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用，目的是通过合理的手段，应用整体把握的思想，最大限度地减少运算量.

例3 设椭圆C：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的离心率是22，直线x＝1被椭圆C截得的弦长为22.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知点M（1，2），斜率为2的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，当△MAB的面积最大时，求直线l的方程.

解析 （1）由已知可得，椭圆经过点（1，±2），

解得a＝2，b=2.

故椭圆C的方程为y24+x22=1.

（2）设直线l的方程为y=2x+m，A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

联立方程组y=2x+m，y24+x2

2=1，消去y，整理，得

4x2+22mx+m2-4=0.

则△＝8m2-16（m2-4）＝8（8-m2）＞0.

所以m∈（-22，22）.

由x1+x2=-22m，x1x2=m2-44，

得|AB|=3·（x1+x2）2-4x1x2

=3·16-2m22.

又点M到AB的距离d=|m|3，所以

S△MAB=12|AB|·d=

m2（16-2m2）4=24×m2（8-m2）≤

24·

m2+（8-m2）2=2，

当且仅当m2＝8-m2，即m＝±2时取等号.

此时直线l的方程为y=2x±2.

点评 （1）由椭圆方程经过点（1，±2），代入椭圆方程，根据椭圆的离心率公式即可求得a和b的值，求得椭圆方程；

（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得|AB|，再根据点到直线的距离公式表示出△MAB的面积，利用基本不等式的性质，即可求得当△MAB的面积最大时m的取值，求得直线l的方程.求交点需要解方程组，一般比较麻烦，若设出交点坐标，应用韦达定理进行整体处理，可以避免求交点，简化运算.

例4 已知双曲线x2-y22＝1，过点P（1，1）能否作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？

解析 "假设存在直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点.

设A（x1，y1），B（x2，y2），易知x1≠x2，由

x21-y212=1，x22-y222=1，

两式相减，得

（x1＋x2）（x1-x2）-（y1＋y2）（y1-y2）2＝0.又x1＋x22＝1，y1＋y22＝1，

所以2（x1-x2）-（y1-y2）＝0.

所以kAB＝y1-y2x1-x2＝2.

故直线l的方程为y-1＝2（x-1）.

即y＝2x-1.

由y=2x-1，x2-y22=1，

消去y，得2x2-4x＋3＝0.

因为△＝16-24＝-8lt;0，方程无解，故不存在一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点.（说明最后验证△＞0是十分必要的）

点评 解决直线与圆锥曲线相交弦的中点问题，常用韦达定理或者点差法处理.应用点差法的一般思路如下：若设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为M（x1，y1），N（x2，y2），将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦MN的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为点差法.和例3相似，求交点需要解方程组，一般比较麻烦，若设出交点坐标，应用“点差法”进行整体处理，可以避免求交点，简化运算.

1.3 巧用对称，多思少算

例5 如图3，点F为椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的左焦点，直线y=kx分别与椭圆C交于A，B两点，且满足FA⊥AB，O为坐标原点，∠ABF=∠AFO，则椭圆C的离心率e=.

解析 "如图4，设椭圆的另一个焦点为F1，连接AF1，BF1，根据椭圆的对称性可得四边形AFBF1为平行四边形.由FA⊥AB，在Rt△AFO，Rt△AFB中， ∠ABF＝∠AFO，所以tan∠AFO=|AO||AF|=tan∠ABF=|AF|2|AO|，所以|AF|=2|AO|.

在Rt△AFO中，|FO|2=c2=|AF|2+|AO|2=3|AO|2，得

3|AO|=33c，

所以|AB|=2|AO|=233c，

|AF|=6c3.

由椭圆的定义有

|BF|=2a-|BF1|=2a-6c3.

在Rt△AFB中，|BF|2=|AF|2+|AB|2，即

（2a-6c3）2=（23c3）2+（6c3）2.

化简整理，得-6ac+3a2=c2.

两边同时除以a2，得

e2+6e-3=0，

解得e=-6±322.

又0lt;elt;1，所以椭圆的离心率为32-62.

点评 设椭圆的另一个焦点，则结合椭圆的对称性可构造出平行四边形，由条件可得|AF|=2|AO|，然后由椭圆的定义可得|BF|，再在Rt△AFB用勾股定理，进而求出离心率.利用直线及圆锥曲线关于坐标原点的对称性，可将与圆锥曲线有关的几何关系进行灵活转化，从而简化运算.

1.4 换元引参，迂回向前

例6 已知点P是椭圆x29+y24=1上的动点，当点P到直线x-2y+10＝0的距离最小时，点P的坐标是.

解析 点P为椭圆x29+y24=1上的动点，设点P（3cosα，2sinα）（0≤α≤2π），则点P到直线x-2y+10＝0的距离为

d＝|3cosα-4sina-10|1+4

=

|5sin（-α+θ）-10|5，

当sin（θ-α）＝1时，d取得最小值，

此时，sinθ＝35，cosθ＝45，35cosα-45sinα=1，解得sinα=45，cosα=-35.

可得点P的坐标为（-95，85）.

点评 运用三角代换，设出点P，再由点到直线的距离公式及两角和的正弦公式，结合正弦函数的值域，即可得到最小值，然后求解点P的坐标.求椭圆上的动点到定点或定直线的距离的最值问题时，可利用三角换元，减少变元个数，从而转化为三角函数的最值问题处理.

1.5 应用结论，事半功倍

解题时灵活应用一些重要的结论，能够避开推导这些结论的过程，提高效率和正确率，起到事半功倍的效果.下面列举椭圆、双曲线中常用的二级结论及在解题中的应用.

（1）焦点三角形的面积公式：P为椭圆（双曲线）上异于长轴端点的一点，且∠F1PF2＝θ，则椭圆中S△PF1F2＝b2·tanθ2，双曲线中S△PF1F2＝b2tan（θ/2）.

（2）周角定理：已知A，B为椭圆（或双曲线）上关于原点对称的两点，点P为椭圆（或双曲线）上异于A，B的任一点，则椭圆中kPA·kPB＝-

b2a2，双曲线中kPA·kPB＝b2a2.

（3）中点斜率结合公式：已知A（x1，y1），B（x2，y2）为圆锥曲线E上的两点，AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为k；

若E的方程为x2a2＋y2b2＝1（agt;bgt;0），则k＝-b2a2·x0y0；

若E的方程为x2a2-

y2b2＝1（agt;0，bgt;0），则k＝-b2a2·x0y0；

若E的方程为y2＝2px（pgt;0），则k＝py0.

（4）与抛物线的焦点弦有关的二级结论：

若倾斜角为α的直线l（l的斜率存在且不为零）经过抛物线y2＝2px（pgt;0）的焦点，且与抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）（y1gt;y2）两点，则

①焦半径|AF|＝x1＋p2＝p1-cosα；

|BF|＝x2＋p2＝p1＋cosα；

②焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α；

③S△OAB＝p22sinα（O为坐标原点）;

④x1x2＝p24，y1y2＝-p2；

⑤1|AF|＋1|BF|＝2p；

⑥以AB为直径的圆与准线相切，以FA为直径的圆与y轴相切.

例7 已知椭圆C：

x2a2+y2b2＝1（agt;bgt;0），其左、右焦点分别为F1，F2，其离心率e＝12，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝π3，已知△F1PF2的内切圆半径为r＝3，则该椭圆的长轴长为.

解析 由e＝12，得ca＝12，即a＝2c.①

在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，得

S△F1PF2＝b2tan∠F1PF22＝12r（2a＋2c）.

即33b2＝3（a＋c）.②

由a2＝b2＋c2，③

联立①②③，得c＝3，a＝6，b＝33.

所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12.

例8 已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1（agt;0，bgt;0），过原点O的直线交C于A，B两点（点B在右支

上），双曲线右支上一点P（异于点B）满足BA·BP＝0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为.

解析 如图5，BA·BP＝0，所以BA⊥BP.

令kAB＝k，因为∠ADO＝∠AOD，

所以kAP＝-kAB＝-k.

又BA⊥BP，所以kPB＝-1k.

依题意，kPB·kPA＝b2a2，

所以-1k·（-k）＝b2a2.

所以b2a2＝1，即e＝2.

例9 已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为π6的直线l过焦点F交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO的面积为.

解法1 （常规解法）依题意，抛物线C：y2＝16x的焦点为F（4，0），直线l的方程为x＝3y＋4.

由x＝3y＋4，y2＝16x，消去x整理，得

y2-163y-64＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则y1＋y2＝163，y1y2＝-64.

所以S△OAB＝12|y1-y2|·|OF|

＝2（y1＋y2）2-4y1y2）

＝2（163）2-4×（-64）＝64.

解法2 （活用结论）依题意，抛物线y2＝16x，p＝8.又l的倾斜角α＝π6，

所以S△OAB＝p22sinα＝822sin（π/6）＝64.

例10 直线l过抛物线y2＝2px（pgt;0）的焦点F（1，0）且与抛物线交于A，B两点，则|AF|-2|BF|的最小值为.

解法1 已知p2＝1 ，即p＝2.

所以抛物线的方程为y2＝4x.

若直线l与x轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不符合题意；

设直线l的方程为x＝my＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），

联立x＝my＋1，y2＝4x，可得

y2-4my-4＝0.

则△＝16m2＋16gt;0，y1＋y2＝4m，y1y2＝-4.

所以1|AF|＋1|BF|＝

1x1＋1＋1x2＋1

＝1my1＋2＋1my2＋2

＝my1＋2＋my2＋2（my1＋2）（my2＋2）

＝m（y1＋y2）＋4m2y1y2＋2m（y1＋y2）＋4

＝4m2＋4-4m2＋8m2＋4＝1.

所以1|BF|＝1-1|AF|.

则|AF|-2|BF|

＝|AF|-2（1-1|AF|）

＝|AF|＋2|AF|-2

≥2|AF|·2|AF|-2

＝22-2，

当且仅当|AF|＝2时，等号成立.

故|AF|-2|BF|的最小值为22-2.

解法2 因为p2＝1，所以p＝2.

又1|AF|＋1|BF|＝p2，

所以1|AF|＋1|BF|＝1.

所以1|BF|=1-1|AF|.

因为|AF|-2|BF|＝|AF|-2（1-1|AF|）

＝|AF|＋2|AF|-2

≥22-2，

当且仅当|AF|＝2时，等号成立.

所以|AF|-2|BF|的最小值为22-2.

点评 例7～例10用常规的办法解决，运算量比较大.而利用平面几何中的二级结论就能立竿见影，可以迅速沟通已知量与待求量之间的关系，使得解题过程简洁流畅，极大提高了解题效率.

1.6 平几渗透，数形结合

解析几何首先是几何问题，如果能在进行计算的同时综合考虑几何因素的话，即在用代数方法研究曲线间关系的同时，充分利用好图形本身所具有的平面几何性质，常可得出简洁而优美的解法.

例11 已知A（3，0）是圆x2+y2=25内的一个定点，以A为直角顶点作Rt△ABC，且点B，C在圆上，试求BC中点M的轨迹方程.图6 例11解析示意图

解析 如图6，设M（x，y），连接OC，OM，MA，因为M为BC的中点，则由垂径定理知，OM⊥BC.

所以OM2+MC2=OC2.

因为在Rt△ABC中，AM=BM=CM=12BC，

所以OM2+AM2=OC2.

即x2+y2+（x-3）2+y2=25.

所以点M的轨迹方程为x2+y2-3x-8=0.

点评 B，C都为圆x2+y2=25上的动点，可引进角参数，设出B，C的坐标，然而这将导致繁复的运算.如果注意到由“垂径定理”知OM⊥BC（O为原点），那么再结合∠CAB=90°，AM=BM=CM=12BC，即可迅速解题.“垂径定理”的使用，让我们在寻找点M的坐标中的x与y的关系时，跳过了两个动点B，C，而直达一个非常明确的结果OM2+AM2=OC2.这大大减少了运算量.

1.7 同理推算，降低运算

例12 如图7，设抛物线P：y2=x，直线AB与抛物线P交于A，B两点，且OA⊥OB，OA+OB=OC，求四边形AOBC面积的最小值.

解析 "依题意，知直线OA，OB的斜率存在，设直线OA的斜率为k，由于OA⊥OB，设直线OA的方程为y=kx，则直线OB的方程为y=-1kx.

由y=kx，y2=x， 消去y，得k2x2-x=0，

解得x=0或x=1k2.

所以点A（1k2，1k）.

同理得点B（k2，-k）.

由OA+OB=OC，知四边形AOBC是平行四边形.又OA⊥OB，则四边形AOBC是矩形，其面积：

S=|OA|·|OB|=（1k2）2+（1k）2·k2+（-k）2=2+k2+1k2≥2+2k2·1k2=2，

当且仅当k2=1k2，即k2=1时，等号成立，

即四边形AOBC的面积的最小值为2.

例13 已知双曲线x22-y2=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P（x1，y1），Q（x1，-y1）是双曲线上不同的两个动点，求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程.

解析 由A1，A2为双曲线的左、右顶点知，A1（-2，0），A2（2，0），

直线A1P为y=y1x1+2（x+2），

直线A2Q为y=-y1x1-2（x-2）.

两式相乘，得y2=-y21x21-2（x2-2）.

又点P（x1，y1）在双曲线上，得x12-y21=1.

即y21x21-2=12.

故y2=-12（x2-2）.

所以直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程为x22+y2=1（xy≠0）.

例14 已知F为抛物线C：y2＝2x的焦点，过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为.

解法1 由题意知，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，F（12，0），设l1：x＝ty＋12，则直线l1的斜率为1t，联立方程得

y2=2x，x=ty+12，

消去x，得

y2-2ty-1＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则

y1＋y2＝2t，y1y2＝-1.

所以|AB|＝t2＋1|y1-y2|

＝t2＋1·（y1＋y2）2-4y1y2

＝t2＋1·4t2＋4

＝2t2＋2，

同理，用1t替换t可得|DE|＝2t2＋2.

所以|AB|＋|DE|＝2（t2＋1t2）＋4≥4＋4＝8，当且仅当t2＝1t2，即t＝±1时等号成立.

故|AB|＋|DE|的最小值为8.

解法2 由题意知，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，F（12，0），不妨设l1的斜率为k，则l1：y＝k（x-12），l2：y＝-1k（x-12）.

由y2=2x，y=k（x-12），

消去y，得

k2x2-（k2＋2）x＋k24＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝1＋2k2.

由抛物线的定义知，

|AB|＝x1＋x2＋1＝1＋2k2＋1＝2＋2k2.

同理，用-1k替换|AB|中k，可得|DE|＝2＋2k2.

所以|AB|＋|DE|＝2＋2k2＋2＋2k2＝4＋2k2＋2k2≥4＋4＝8，当且仅当2k2＝2k2，即k＝±1时等号成立.

故|AB|＋|DE|的最小值为8.

点评 在例12中，得到点A（1k2，1k）后，只需用-1k替换k，即得B（k2，-k）.在例14的解法1中：用1t替换|AB|=2t2＋2t的t可得|DE|＝2t2＋2; 在例14的解法2中：用-1k替换|AB|中k，可得|DE|＝2＋2k2.在解析几何中遇到类似的情形，只需将结果作“同理推算”（替换）即可，不必重算一遍.“同理推算”是降低运算量的有效方法，它可以化繁为简，直奔结果.

1.8 特“形”引路，先猜后证

“先猜后证”是一种通过特殊化获得一般性结论的推理方法，这是探明结论的有效途径之一.在解析几何解答中，猜想可以明确目标，从而使运算策略与方向的选择更具针对性，尤其在解析几何的定点、定值等问题中，常常要先研究图形的特殊情形、临界状态，由此先得到结论，再进行一般情形下的证明.如果能够先探明结论，找到目标，那么运算策略与方向的选择也更具针对性，进而则可以降低运算量，提高运算速度.

例15 已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A，B两点，OA+OB与a=（3，-1）共线.

（1）求椭圆的离心率；

（2）设M为椭圆上任意一点，且OM=λOA+μOB（λ，μ∈R），求证：λ2+μ2为定值.

解析 （1）易得离心率e=63.

（2）如图8，设点M（x，y），则OM=（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2）.

则x=λx1+μx2，y=λy1+μy2.

由（1），得椭圆方程为x2+3y2=3b2，将点M坐标代入即得（λx1+μx2）2+3（λy1+μy2）2=3b2.

围绕解题目标：证明λ2+μ2为定值，故要分离出λ2+μ2.

即λ2（x21+3y21）+μ2（x22+3y22）+2λμ（x1x2+3y1y2）=3b2.

于是

λ2+μ2=3b2-2λμ（x1x2+3y1y2）3b2.

再如何进行呢？面对如此复杂的式子，很多考生往往不知所向.此时，如果先通过点M的特殊位置猜出定值，可以为我们的解题指明方向.

当点M运动到点A时，则λ=1，μ=0，则λ2+μ2=1，即可发现定值是1.

于是，只要证明x1x2+3y1y2=0，这样解答方向明确，问题迎刃而解.过程如下：

x1x2+3y1y2

=x1x2+3（x1-c）·（x2-c）

=4x1x2-3c（x1+x2）+3c2

=3c22-3c·3c2+3c2

=0.

所以λ2+μ2=3b23b2=1.

点评 定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以给变化的量赋予特殊的值，从而找到可能的定值或者定点，明确情况后，问题便迎刃而解.在解析几何的定点、定值问题中，“先猜后证”方法的切入点往往是利用直线的特殊位置或者曲线的特殊化来简化计算，根据特殊条件猜出定点、定值，然后证明在一般情况下该结论仍然成立.

2 结束语

高中平面解析几何是在初中平面几何的基础上，利用方程的观点、代数的视角等“数”的思维来解决平面直角坐标系中几何图形“形”的特征问题.以“数”解“形”，避免几何问题中的逻辑推理，以代数的方法进行优化处理. 只是处理过程中运算繁杂，运算量大，导致解答时间冗长，或算不出结果，或导致错误，或中止解题过程，“望题兴叹”^[2].在高考中，解决问题时若花费更多的时间与精力，往往会牺牲解答其他问题的时间，有时得不偿失.所以，优化数学运算、简化解题过程成了圆锥曲线问题中追求的一个目标.在解答解析几何问题时，合理探究一些必要的策略技巧，选用适当方法，优化数学运算，往往可以收到事半功倍的效果.“回归定义，彰显本质”“设而不求，整体把握”“巧用对称，多思少算”“换元引参，迂回向前”“应用结论，事半功倍”“平几渗透，数形结合”“同理推算，降低运算” “特“形”引路，先猜后证”等都是解析几何中减少运算量的常用策略，合理利用以上策略，将有利于我们抓住问题本质，规避复杂的运算，提高解题效率，从而不断提高学生的运算能力，提升学生的运算素养.

参考文献：

［1］杨文武.减少解析几何运算量的五种途径[J].中学数学月刊，2019（05）： 62-64.

[2] 黄俊峰，袁方程.减少解析几何运算量的几种方法[J].河北理科教学研究，2019（02）：13-16.

［责任编辑：李 璟］