浅析构造法在高中数学解题中的应用

摘 要：构造法的学习有利于高中生思维的发展、知识体系的建构、应用意识和创新意识的提升.文章以近两年全国甲卷高考试题为例，对构造法的应用进行研究.

关键词：高中课标；数学构造法；解题应用

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）31-0059-04

收稿日期：2024-08-05

作者简介：肖晰（2000.12—），女，陕西省汉中人，硕士，从事数学教学研究；

巴桑卓玛（1973.9—），女，西藏自治区日喀则人，教授，从事数学教学研究；

西绕拉姆（1998.8—），女，西藏自治区昌都人，硕士，从事数学教学研究.

经过调查发现，许多已被攻克的数学难题都是运用数学构造法解决的，比如欧拉的“七桥问题”，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，以及其他一些重要的问题.由此可以看出，数学历史的发展是建立在数学构造之上的.如今，在中学数学中构造法不但关系着学生问题解决能力的高低，还影响着学生数学成绩的提高.中国著名数学家吴文俊院士作为一名数学教育家曾指出：随着科技的飞速发展，构造化数学必将在未来获得新的发展，并逐渐成为主流^[1].

在解决数学问题时，可以通过构造函数、构造方程、构造数列、构造向量、构造图形等方法，建立数学模型进行解题，从而得到结果，最终达到有效解决问题的目的.

1 数学构造法的种类

构造法就是在按照常规解法无法解答时，根据题目已知信息，借助其他方式，例如函数、图形、数列等方法将问题进行转化，进而将问题解决.

它分为以下两种：一是直接构造法，指在解决问题时，可直接列举出满足条件的数学对象或者反例来确定问题中结论的肯定及否定，并以此来解决这个问题^[2]，它主要是用来证明存在性命题^[3]；二是间接构造法，在解决一些很难通过条件推导出结论的问题

时，我们可以对原问题中的题设条件、结论及数量关系，进行认真仔细的观察、综合、类比、分析、联想及推广，寻找出问题中条件及结论的内在联系，并根据问题的结构以及其隐含的条件，对原问题进行转换，构造出一种与原问题紧密相关的数学对象，进而转换解题思维，得到正确解题的思路，最后得以求解^[4].

构造法根据所构造对象的不同，可分为构造函数、构造方程、构造数列、构造向量、构造图形等，这些数学对象是数学内容的主要部分，其应用也十分广泛.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出，“函数”“几何与代数”是必修科目和选修科目中最常出现的两个知识点.因此，本文以近两年全国高考数学甲卷为例，对“几何与代数”“函数”两大命题进行了剖析，让学生能了解到数学构造法对高中数学学习的重要性，从而引起他们对运用构造法解题的兴趣，提高他们的数学学习能力.

1.1 几何与代数

例1 向量|a|=|b|=1，|c|=2，且a+b+

c=0，则coslt;a-c，b-cgt;=.

分析 这道题的考点是平面向量数量积的性质及其运算，需要根据已知信息构造平面图形，依次得出平面的向量积，最后根据平面图形的几何意义进行求解.

解析 因为a+b+c=0，所以a+b=-c.

则a+b+2ab=c2.即1+1+2ab=2.

所以a·b=0.

如图1，设OA=a，OB=b，OC=c，

由题知，OA=OB=1，OC=2，△OAB是等腰直角三角形，AB边上的高OD=22，AD=22.

所以CD=CO+OD=2+22=322，

tan∠ACD=ADCD=13，

cos∠ACD=310.

所以coslt;a-c，b-cgt;=cos∠ACB=

cos2∠ACD=2cos2∠ACD-1=2×（310）2-1

=45.

例2 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的右焦点为F，点M（1，32）在椭圆C上，且MF⊥x轴.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点P（4，0）的直线与椭圆C交于点A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB与MF交与点Q，证明：AQ⊥y轴.

分析 第（1）问根据焦点公式代入求解.第（2）问构造直线NB方程，根据两点之和与两点乘积求解，得出两点纵坐标之差为0，得到AQ⊥y轴.

解析 （1）设椭圆C的左焦点为F1，则|F1F|=2，|MF|=32.

因为MF⊥x轴，

所以|MF1|=52，2a=|MF1|+|MF|=4.

解得a2=4，b2=a2-1=3.

故椭圆C的方程为x24+y23=1.

（2）由题意和函数方程可得P（4，0），F（1，0），N（52，0）.

设AB：x=my+4，由x=my+4，3x2+4y2-12=0，

得（3m2+4）y2+24my+36=0.

因为△=（24m）2-144（3m2+4）gt;0，

所以mgt;2或mlt;-2.

设A（x1，y1），B（x2，y2），

所以y1+y2=-24m3m2+4，y1y2=363m2+4.

因为N，Q（1，yQ），B三点共线.

所以yQ=-3y2/2x2-5/2.

所以yQ-y1=

-3y2/2x2-5/2-y1

=-3（y1+y2）/2-my1y2x2-5/2

=36m/（3m2+4）-36m/（3m2+4）x2-5/2=0.

所以y2=y1.

所以AQ⊥y轴.

1.2 函数

例3 设x，y满足约束条件-2x+3y≤3，3x-2y≤3，x+y≥1，设z=3x+2y，则z的最大值为.

分析 已知三个约束条件，我们需要根据约束条件得到x，y所满足的可行域，根据可行域得出z的最大值.即需要构造出每一个约束条件相对应的图形，进而根据线性规划求最值.

解析 作出可行域，如图2所示.图2 函数可行域

由图2可知，当目标函数y=-32x+z2过点A时，z有最大值.

由-2x+3y=3，3x-2y=3，可得x=3，y=3.即A（3，3）.

所以zmax=3×3+2×3=15.

例4 已知函数f（x）=（1-ax）ln（1+x）-x.

（1）当a=-2时，求f（x）的极值；

（2）当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围.

分析 第（1）问，代入a=-2，根据公式求解，构造函数g（x）=f ′（x），根据函数值求极值点；第（2）问，先求出f（x）的一阶导和二阶导，得出a的大概取值范围，再根据导数范围，进一步确定a的取值范围.

解析 （1）当a=-2时，

f（x）=（1+2x）ln（1+x）-x，

f ′（x）=2ln（1+x）+1+2x1+x-1

=2ln（1+x）-1x+1+1.

设g（x）=f ′（x）=2ln（1+x）-1x+1+1，

则g′（x）=2x+1+1（x+1）2gt;0.

所以g（x）在（-1，+∞）上单调递增，即f ′（x）在（-1，+∞）上单调递增，且f ′（x）=0.

所以当x∈（-1，0）时，f ′（x）lt;0，f（x）单调递减，

当x∈（0，+∞）时，f ′（x）gt;0，f（x）单调递增，

所以x=0为f（x）的极小值点，f （x）极小值=f（0）=0，无极大值.

（2）f ′（x）=-aln（1+x）+1-axx+1-1，

则f ″（x）=-ax+1+-a-1（x+1）2=-ax-（2a+1）（x+1）2.

①当a≤-12时，f" ″（x）≥0，

所以f ′（x）在［0，+∞）单调递增.

所以f ′（x）≥f ′（0）=0.

所以f（x）在［0，+∞）单调递增.

所以f（x）≥f（0）=0，符合题意.

②当-12lt;alt;0时，令f ″（x）=0，x=-2a-1a.

当x∈（0，-2a-1a）时，f ″（x）lt;0，f ′（x）在（0，-2a-1a）单调递减，

所以x∈（0，-2a-1a）时，

f ′（x）≤f ′（0）=0，所以f（x）在（0，-2a-1a）上单调递减，所以

f（x）≤f（0）=0，不符合题意.

③当a≥0时，f ″（x）lt;0，f ′（x）单调递减，

f ′（x）≤f ′（0）=0，即f（x）单调递减，f（x）≤f（0）=0，不符合题意.

综上，a∈（-∞，-12］.

2 教学建议

“师者，所以传道、受业、解惑也”，意味着教师起着传授知识、培养学生兴趣、帮助他们解决困惑的作用，教师的教学对学生的学习有直接的影响^[5].因此，对于教师如何教授学生使用构造法进行解题，笔者有以下几方面的建议.

2.1 扎实学科素养

教师的教学离不开自身扎实的数学基础知识.因此，教师在教学过程中，只有不断完善自身条件，才能够更好地教授学生如何去学习.只有教师借助扎实的学科知识运用构造法解题，才能让学生明白，牢固的学科基础知识是构造法解题的奠基石.

除此之外，教师应拥有良好的教育习惯，树立正确的教育理念，全面提升自身素质.正确的学生观意味着一切以学生的发展为前提，学习的主体是学生，也是学习的建设者^[6].科学的教学理念与学生观念是互补的，只有把两者相结合，才能使教育与学习得以长久地发展.

2.2 培养学习习惯

首先，教师坚持培养学生对数学的学习兴趣和构造性的思维能力是十分必要的，从更高的抽象层次进行探究，将极大地扩展学生的思维水平.

其次，要促使学生养成“独立解决问题”的习惯，并引导他们积极地去探索解决问题，进而学习到新知识，达到充实自己的目的.因此，教师不但要教授学生基本的数学文化基础知识，还应该帮助学生养成良好的学习习惯，指引他们去自我学习、探索学习、合作学习.

最后，学生在学习过程中要牢记数学基础知识，还要学会灵活变通，能够把各部分的内容连接起来.因此，这就需要教师对新课程或解题课程进行阶段性的训练，帮助学生建立知识思维导图，积累并且存储数学知识.

2.3 善于反思和总结

自我反思就是教师通过自我检查以及监督获得正确的反馈信息，从而弥补自身教学能力的不足，达到提高教学质量的目的.教师在提升学生的学习能力的同时，还要促使学生对自己的学习状况进行及时的反思与总结，并通过鼓励学生，增强他们的自信心，激发学生的学习兴趣，拓展学生的学习方式，实现他们的学习目的.

3 结束语

本文结合具体的解题案例展开叙述，强调了在运用构造法解题的过程中，根据题目已知条件，梳理解题思路，根据求解所缺失的条件构建模型，找到求解所需要的条件，最后再依据解题思路，进行一系列的计算演绎，进而达到求解的目的.学生的学习离不开教师的帮助，这就需要教师在平常授课时，将各类知识点结合起来，让学生建立数学知识思维导图并不断拓展，在解题时能快速构造数学模型，达到运用构造法进行解题的目的.

参考文献：

［1］ 古岩燕. 高中生学习数学构造法的教学研究［D］.新乡：河南师范大学，2013.

［2］ 刘良华. 数学构造思想方法的探索与实践［D］.武汉：华中师范大学，2004.

［3］ 李名德， 李胜宏. 高中数学竞赛培优教程（一试）［M］.杭州：浙江大学出版社， 2018.

［4］ 孙云发.例谈数学解题中的构造法［J］.中学数学教学参考，2016（27）：34-37.

［5］ 孙利萍.“构造法”在高中数学解题中的应用［J］.数理化解题研究，2023（04）：84-86.

［6］ 张传鹏.基于数学核心素养提升的构造法解题［J］.中学数学研究，2018（04）：30-32.

［责任编辑：李 璟］